第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪教版第10-11章） -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第10-11章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）边长为的正方形的水平放置的直观图的面积为 ． 3．（25-26高二上·上海·单元测试）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ． 4．（23-24高一下·上海松江·期末）空间给定不共面的A、B、C、D四个点，如果这四个点到平面的距离都相等，那么这样的平面的个数是 . 5．（24-25高二·上海·课堂例题）菱形ABCD的边长为2a，，P为平面ABCD外一点，若PD⊥平面ABCD，，则P到AB的距离为 ． 6．（24-25高二·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ． 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，PA⊥平面ABC，在中，若，则图中直角三角形的个数是 ． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，且，则直线与所成角的大小为 ．    9．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是 ． 10．（22-23高二上·上海松江·阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是 .    11．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 12．（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（2023·上海金山·一模）已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 15．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 18．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 19．（23-24高二·上海·课堂例题）将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 20．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，已知S是正方形所在平面外一点，且，其中分别是的中点，动点P在线段上运动时（P与不重合）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 21．（22-23高二上·上海静安·期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第10-11章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）边长为的正方形的水平放置的直观图的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积之比为，求解即可． 【详解】解：正方形的边长，故面积为， 而原图和直观图面积之间的关系是， 故直观图的面积为． 故答案为：． 3．（25-26高二上·上海·单元测试）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据题意可以证明四点共面，进而可以知道和的位置关系 【详解】如图所示，因为分别为的中点 所以, 同理可证 所以 所以四边形为平行四边形 所以对角线和相交. 故答案为：相交. 4．（23-24高一下·上海松江·期末）空间给定不共面的A、B、C、D四个点，如果这四个点到平面的距离都相等，那么这样的平面的个数是 . 【答案】7 【分析】分平面的两边分别有1个点，3个点和两边各有2个点讨论即可. 【详解】因为四点不共面，所以可以看作是四面体的顶点，取四面体各棱的中点为. 如图： 当四个点在平面的一侧有1个点，另一侧有3个点，且它们到平面的距离相等，这样的平面有平面，平面，平面，平面，共4个； 当四个点分别在平面的两侧各有两个点，且它们到平面的距离相等，这样的平面有平面，平面，平面，共3个. 所以满足条件的平面共7个. 故答案为：7 5．（24-25高二·上海·课堂例题）菱形ABCD的边长为2a，，P为平面ABCD外一点，若PD⊥平面ABCD，，则P到AB的距离为 ． 【答案】2a 【分析】由线面垂直证明线线垂直得点到直线距离，然后勾股定理计算即可. 【详解】如图所示，取中点F，连接， 在菱形ABCD中，，，，由余弦定理， 有， 所以，， 由已知PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，即P到AB的距离为PF， 由勾股定理可得. 故答案为：2a. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ． 【答案】 【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比. 【详解】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L， 被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l， 因为 ，即有， 又因为，所以，即有，且， 而， 故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为. 故答案为： 7．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，PA⊥平面ABC，在中，若，则图中直角三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】由平面，中，，知，，，从而，由此能求出结果． 【详解】平面，平面, ，， 又中，，，平面， 所以平面,平面,， 直角三角形有：，，，，共4个． 故答案为：4 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，且，则直线与所成角的大小为 ．    【答案】 【分析】延长交底面圆于点，分析可知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而可得结果. 【详解】如图，延长交底面圆于点，连接，，    由，均为圆的直径知，且， 所以即为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，， 在中，， 所以，所以为正三角形， 所以，即直线与所成的角为. 故答案为：. 9．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是 ． 【答案】 【分析】根据不同的展开方式，求展开图两点间距离的长度. 【详解】如图，三棱柱表面由点到的展开图有如下情况， 如图，若过时，此时， 若过时，与过一样，此时； 第二种情况，当过时，，，， 若过与过一样，此时， 由 所以从到的最短路程是. 故答案为： 10．（22-23高二上·上海松江·阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是 .    【答案】 【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解. 【详解】如图，转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图， 由图形的对称性可知，为等腰直角三角形， 设直角边为，则斜边为， 故，可得. 由几何关系得：， 故所求面积. 故答案为：    11．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 【答案】/ 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形， 作于点，如下图所示： 则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和, 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高， 则圆锥的体积， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为； 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为： 12．（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 【答案】/ 【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可. 【详解】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（2023·上海金山·一模）已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作平面于点，利用正四面体的特点求出的长，从而得到，即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积. 【详解】过点作平面于点， 则， 因为，则， 则表示的区域为以为圆心，2为半径的圆及其内部， 面积为， 故选：C. 14．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】作出图形找到二面角的平面角，证明即可. 【详解】    过点作，又顶点在底面内的射影，平面， 则，平面，所以平面， 所以，则分别为在底面上的射影， 则即为侧面与底面所成的二面角，即为侧面与底面所成的二面角， ， 故， 则，即为定值， 同理可得为定值. 故选：B． 15．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合球体和圆柱的体积公式运算求解. 【详解】设球半径为，则． 故选：A． 16．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在长方体中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）． A．四点共面，且与平行． B．四点共面，且与相交． C．四点共面，且与平行． D．四点不共面． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理及平行公理即可判断. 【详解】如图，连接，则在上且为中点， 因为为分别为中点， 所以由三角形的中位线定理可知，， 所以四点共面且，故B、D错误，C正确， 因为，所以，故A错误. 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 19．（23-24高二·上海·课堂例题）将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）表示出、，再由锥体的侧面积公式计算可得； （2）依题意可得平面，利用勾股定理求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）由题意，，，， 所以容器罩的表面积，． （2）由题意，平面，平面，所以， 又，，，， 在中，， 所以容器罩的体积，． 20．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，已知S是正方形所在平面外一点，且，其中分别是的中点，动点P在线段上运动时（P与不重合）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用中位线的性质先证明线面平行再得面面平行，最后可证线面平行； （2）根据题意可先判定为正四棱锥，从而判定平面，结合上问可判定异面直线夹角. 【详解】（1）连接，根据题意易知， 而平面，平面，则平面， 同理可得平面， 又，且平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）设相交于点O， 因为，且是正方形， 可得SO⊥底面，平面， 所以， 又，且，所以平面， 由第（1）问得平面平面，所以平面， 而平面,所以， 即异面直线与所成角的大小为. 21．（22-23高二上·上海静安·期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 【答案】(1)； (2)55mm. 【分析】（1）由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案； （2）设钉身的长度为，表示出钉身的体积.根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：由已知可得，铆钉为以为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为，圆柱底面半径为. 由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积. 半球的表面积为，圆柱的侧面积为，圆的面积. 所以，铆钉的表面积. （2）解：设钉身的长度为，，则钉身的体积. 由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20，底面圆半径为，钉帽是以半径的半球. 所以. 所以，解得，满足条件. 所以钉身的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $$