2024-2025学年人教版九年级数学上册 点拨训练 第22章 第01讲 二次函数

人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第01讲 二次函数 学习目标： 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式。 2.会利用二次函数的概念解决问题。 3.会列二次函数表达式解决实际问题。 老师告诉你 二次函数的定义要理解三点 1.函数解析式必须是整式，自变量的取值范围是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值范围必须符合实际意义。 2.确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数解析式化为一般形式。 3.二次项系数不为0. 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1二次函数定义 定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 即用自变量的二次整式表示的函数叫二次函数 【新知导学】 例1-1．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应导练】 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 2．若关于x的函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．不等于0 D．3 3．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 4．函数是二次函数，则a的值是 　 　． 知识点2二次函数的一般形式 一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 说明： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 【新知导学】 例2-1．函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是（　　） A．﹣6 B．1 C．3 D．6 【对应导练】 1．二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 2．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 3．已知是x的二次函数，求出它的解析式． 知识点3建立二次函数模型 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【新知导学】 例3-1．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为x m． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【对应导练】 1．用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式． 2．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式． 二、题型训练 1.二次函数定义在字母取值中的应用 1．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 2．关于x的函数y＝（a2+2a+3）x2+3ax+1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 3．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 2.二次函数的关系在实际问题中的应用 4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　 5．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 ． 6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是 　 　． 3.二次函数的关系在几何问题中的应用 7．如图，AE＝10，D为AE上一点（端点除外），分别以AD、DE为边长，在AE同侧作正方形ADCB和正方形DEFG，连接BE、GE，连接AG交BE于点O．设DE＝x，△OEG的面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 8．在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x 9．李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形ABCD的一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为27m，若EF＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数表达式及x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣3x2+27x（0＜x＜9） B．y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9） C．y＝﹣2x2+27x（0＜x＜9） D．y＝﹣x2+27x（5≤x＜9） 3、 牛刀小试 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ C．y＝﹣2x2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．下列结论正确的是（　　） A．二次函数中两个变量的值是非零实数 B．二次函数中变量x的值是所有实数 C．形如y＝ax2+bx+c的函数叫二次函数 D．二次函数y＝ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零 3．若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2 4．圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．以上答案均不正确 5．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（　　） A．速度一定时，汽车行驶的路程与时间的关系 B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 6．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，﹣2，﹣3 B．，﹣2，﹣1 C．，4，﹣3 D．，﹣4，1 7．若y＝（m2﹣m）是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．1和﹣2 8．下列说法中，正确的是（　　） A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C．y＝（x﹣1）（x+4）不是二次函数 D．在y＝1﹣x2中，一次项系数为1 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9．若函数为关于x的二次函数，则m的值为 　 　． 10．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝　 　，长方体的体积为V＝　 　，各边长的和L＝　 　，在上面的三个函数中，　 　是关于x的二次函数． 11．当m＝　 　时，y＝（m﹣1）﹣3m是关于x的二次函数． 12．二次函数y＝2（x+2）2﹣3的二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　． 13．y＝（m2﹣2m﹣3）x2+（m﹣1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是　 　． 三．解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3． （1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式； （2）这三个函数中，哪些是二次函数？ 15．（8分）已知函数y＝（m2﹣m﹣2）+（m+1）x+m． （1）当m取何值时为一次函数？并求出其关系式； （2）当m取何值时为二次函数？并求其关系式． 16．（8分）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3； （2）y＝﹣2x2﹣7； （3）y＝﹣x2+x； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2． 17．（8分）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 18．（8分）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项？ （1）3y＝3（x﹣1）2+1 （2）y＝﹣0.5（x﹣1）（x+4） （3）s＝3﹣2t2 （4）y＝2x（x2+3x﹣1）（5）y＝1﹣x2． 19．（8分）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数． （1）y＝x2+2x﹣5； （2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2； （3）y＝ax2+bx+c； （4）y＝mx2+（m﹣2）x+1； （5）y＝（b﹣1）x2+3； （6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第01讲 二次函数（解析版） 学习目标： 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式。 2.会利用二次函数的概念解决问题。 3.会列二次函数表达式解决实际问题。 老师告诉你 二次函数的定义要理解三点 1.函数解析式必须是整式，自变量的取值范围是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值范围必须符合实际意义。 2.确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数解析式化为一般形式。 3.二次项系数不为0. 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1二次函数定义 定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 即用自变量的二次整式表示的函数叫二次函数 【新知导学】 例1-1．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：①y＝3﹣；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【对应导练】 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 【分析】直接利用二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案． 【解答】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意； C、，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．若关于x的函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．不等于0 D．3 【分析】形如y＝a2x+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，根据定义解答即可． 【解答】解：∵函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的定义，熟记定义是解此题的关键． 3．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数． 4．函数是二次函数，则a的值是 　﹣1　． 【分析】根据二次函数的定义列出a﹣2≠0，且a2﹣a＝2，进而求得答案． 【解答】解：∵函数y＝（a−2）是二次函数， ∴a﹣2≠0，且a2﹣a＝2， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键． 知识点2二次函数的一般形式 一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 说明： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 【新知导学】 例2-1．函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是（　　） A．﹣6 B．1 C．3 D．6 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 【对应导练】 1．二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【分析】先找出多项式中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【解答】解：多项式y＝x2+2x﹣3的一次项为2x，其系数为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，求多项式中某项的系数，掌握多项式中的项的定义和系数的定义是解题关键． 2．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数； （2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点． 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m＝， 当m＝时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x＝， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零． 3．已知是x的二次函数，求出它的解析式． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1＝2，且m2﹣m≠0， 解得，m＝3或m＝﹣1； 当m＝3时，y＝6x2+9； 当m＝﹣1时，y＝2x2﹣4x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为：y＝6x2+9或y＝2x2﹣4x+1． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 知识点3建立二次函数模型 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【新知导学】 例3-1．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为x m． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）由篱笆总长为30m，门宽是2m，以及这块场地的宽为x m，得到这块场地的长为（32﹣2x）m，再利用矩形的面积公式即可列出矩形面积y与x的关系式； （2）由场地的长32﹣2x＞0，求出自变量x的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意得y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x； （2）∵32﹣2x＞x， ∴x＜， 又∵门宽是2m， ∴x≥2， ∴2≤x＜． 【点评】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于与实际生活密切相关的问题相联系的应用题，找出题中的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据篱笆长得到这块场地的长． 【对应导练】 1．用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式． 【分析】求出花圃平行于墙的一边长为（20﹣2x）米，再根据矩形的面积公式可求出花圃的面积，最后求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵花圃垂直于墙的一边长为x米，围栏总长为20米，且一面靠墙， ∴花圃平行于墙的一边长为（20﹣2x）米， ∴花圃的面积为（20﹣2x）x． ∵20﹣2x＞0， ∴x＜10， ∴y＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）． 【点评】本题考查二次函数的实际应用．求出花圃平行于墙的一边长是解题关键． 2．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式． 【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE＝AB＝x，利用梯形的周长可得出AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式． 【解答】解：作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，∠B＝30°， 则AE＝AB＝x， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD+BC＝60﹣AB﹣CD＝60﹣2x， ∴S＝（AD+BC）×AE＝（60﹣2x）×x＝﹣x2+15x（0＜x＜30）． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，掌握梯形的面积公式及等腰梯形的性质是解答本题的关键． 二、题型训练 1.二次函数定义在字母取值中的应用 1．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0， 所以m＝0； （2）依题意m2﹣m≠0， 所以m≠1且m≠0． 【点评】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 2．关于x的函数y＝（a2+2a+3）x2+3ax+1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【分析】将原函数的二次项系数a2+2a+3配方得到（a+1）2+2，由非负项的特点可知（a+1）2≥0，即有a2+2a+3≥2≠0，到此相信你能判断出谁的说法正确了． 【解答】解：乙的说法对．理由如下： 对a2+2a+3配方可得（a+1）2+2， 因为无论a取何值，（a+1）2≥0， 即有（a+1）2+2≥2， 所以a2+2a+3≥2≠0， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可； （2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值． 【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2， 则k2﹣3k+2＝0， （k﹣1）（k﹣2）＝0， 解得：k1＝1，k2＝2， ∵k﹣1≠0， ∴k＝2； （2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1， 当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝． 【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件． 2.二次函数的关系在实际问题中的应用 4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　﹣x2+10x+600　． 【分析】先根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式． 【解答】解：设应降价x元，销售量为（20+x）个， 根据题意得：y＝（100﹣x﹣70）（20+x）＝﹣x2+10x+600． 故答案为：﹣x2+10x+600． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式． 5．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　y＝﹣5x2+175x﹣1250　． 【分析】当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售（125﹣5x）件，利用每天的销售利润＝每件学具的销售利润×日销售量，即可找出y与x的函数关系式． 【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5＝（125﹣5x）件， 根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x）， 即y＝﹣5x2+175x﹣1250． 故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是 　y＝100（1+x）2　． 【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×（1+每次提价的百分率）2，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：依题意得y＝100（1+x）2， 故答案为：y＝100（1+x）2． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 3.二次函数的关系在几何问题中的应用 7．如图，AE＝10，D为AE上一点（端点除外），分别以AD、DE为边长，在AE同侧作正方形ADCB和正方形DEFG，连接BE、GE，连接AG交BE于点O．设DE＝x，△OEG的面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点O作MN∥AE，分别交AB，DG于M，N，设BE交DG于H，根据正方形的性质和相似三角形的判定的得出△DEH∽△AEB，从而求出GH，设ON＝m，则OM＝10﹣x﹣m，由△OAB∽△OGH，△AOM∽△GON得出m，然后有三角形的面积公式得出y与x的关系式． 【解答】解：过点O作MN∥AE，分别交AB，DG于M，N，设BE交DG于H，如图： ∵四边形ADCB和四边形DEFG都是正方形， ∴GD∥AB， ∴△DEH∽△AEB， ∴＝， 即＝， ∴DH＝， ∴GH＝x﹣＝， ∵GD∥AB， ∴∠BAO＝∠HGO， ∵∠AOB＝∠GOH， ∴△OAB∽△OGH， ∴＝， 同理可证△AOM∽△GON， ∴＝， ∴＝， 设ON＝m，则OM＝10﹣x﹣m， ∴＝， ∴m＝， ∴S△OEG＝S△OHG+S△GHE＝××+וx＝， ∴y＝， 故选：A． 【点评】本题考查根据实际问题列函数解析式，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是对这些知识的掌握和运用． 8．在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x 【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键． 9．李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形ABCD的一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为27m，若EF＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数表达式及x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣3x2+27x（0＜x＜9） B．y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9） C．y＝﹣2x2+27x（0＜x＜9） D．y＝﹣x2+27x（5≤x＜9） 【分析】根据各边长度间的关系，可得出BC＝（27﹣3x）m，利用矩形的面积公式，可得出y关于x的函数表达式，结合墙的长度为12m且各边长度为正值，可得出x的取值范围． 【解答】解：∵栅栏的总长度为27m，EF＝x m， ∴BC＝（27﹣3x）m． 根据题意得：y＝EF•BC， ∴y＝x（27﹣3x），即y＝﹣3x2+27x． 又∵墙的长度为12m，且各边长度为正值， ∴， 解得：5≤x＜9， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣3x2+27x（5≤x＜9）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式是解题的关键． 3、 牛刀小试 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ C．y＝﹣2x2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答． 【解答】解：A、是一次函数，错误； B、是反比例函数，错误； C、y＝﹣2x2+1是二次函数，正确； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，错误． 故选：C． 【点评】解题关键是掌握二次函数的定义． 2．下列结论正确的是（　　） A．二次函数中两个变量的值是非零实数 B．二次函数中变量x的值是所有实数 C．形如y＝ax2+bx+c的函数叫二次函数 D．二次函数y＝ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零 【分析】根据二次函数定义：形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数就可以解答． 【解答】解：A、例如y＝x2，自变量取0，函数值是0，所以不对； B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确； C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误； D、要求a≠0，b、c可以为0． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的概念和各系数的取值范围． 3．若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可解答． 【解答】解：根据二次函数的定义，得：m2+1＝2， ∴m＝1或m＝﹣1， 又∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义． 4．圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．以上答案均不正确 【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可直接得到答案． 【解答】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式． 5．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（　　） A．速度一定时，汽车行驶的路程与时间的关系 B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 【分析】根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的定义可以判定． 【解答】解：A、s＝vt，v一定，是一次函数，错误； B、E＝mv2，m一定，是二次函数，正确； C、f＝mv2，m一定，是二次函数，正确； D、H＝gt2，g一定，是二次函数，正确． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函数的定义． 6．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，﹣2，﹣3 B．，﹣2，﹣1 C．，4，﹣3 D．，﹣4，1 【分析】根据平方可化简二次函数，可得二次函数的一般形式，可得答案． 【解答】解：y＝﹣1， 二次项系数是，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，化成一般形式，再判断二次项系数、一次项系数和常数项． 7．若y＝（m2﹣m）是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．1和﹣2 【分析】由二次函数的定义可知m2+m＝2且m2﹣m≠0然后可求得m的取值． 【解答】解：∵y＝（m2﹣m）是关于x的二次函数， ∴m2+m＝2且m2﹣m≠0． 解得：m＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 8．下列说法中，正确的是（　　） A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C．y＝（x﹣1）（x+4）不是二次函数 D．在y＝1﹣x2中，一次项系数为1 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子叫做二次函数，其中x是自变量，对于选择题目可以采用排除法、代入法、特殊值法、反例法等，本题可以采用排除法，根据二次函数的概念，动手试一试吧！ 【解答】解：对于A，二次函数自变量的取值范围必须使函数式有意义，不一定是非零数，故A不正确； 对于B，在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数，故B正确； 对于C，y＝（x﹣1）（x+4）化简后符合二次函数的一般式，故C不正确； 对于D，一次项系数为0，1是常数项，故D不正确． 故选B． 【点评】本题是一道有关二次函数的题目，解题的关键是掌握二次函数的概念及一般式． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9．若函数为关于x的二次函数，则m的值为 　2　． 【分析】首先根据二次函数的定义得m2﹣1≠0且m2﹣m＝2，由此解出m即可． 【解答】解：∵函数为关于x的二次函数， ∴m2﹣1≠0且m2﹣m＝2， 由m2﹣1≠0，解得：m≠±1， 由m2﹣m＝2，解得：m＝﹣1或m＝2， 综上所述：m的值为2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 10．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝　24xcm2　，长方体的体积为V＝　6x2cm3　，各边长的和L＝　（8x+24）cm　，在上面的三个函数中，　V＝6x2　是关于x的二次函数． 【分析】侧面展开图的面积应为边长为xcm的正方形的周长乘6；长方体的体积应为边长为xcm的正方形的面积乘高；各边长的和应为边长为xcm的正方形的周长的2倍加上边长为6的4倍，找到x的次数为2的函数即为关于x的二次函数． 【解答】解：长方体的侧面展开图的面积S＝4x×6＝24x； 长方体的体积为V＝x2×6＝6x2； 各边长的和L＝4x×2+6×4＝8x+24； 其中，V＝6x2是关于x的二次函数． 【点评】找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意此几何体为底面积为正方形的长方体． 11．当m＝　﹣2　时，y＝（m﹣1）﹣3m是关于x的二次函数． 【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可． 【解答】解：由题意得，m2+m＝2且m﹣1≠0， 解得m1＝1，m2＝﹣2，且m≠1， 所以，m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查二次函数的定义，牢记其一般形式是解答本题的关键，难度较小． 12．二次函数y＝2（x+2）2﹣3的二次项系数是　2　，一次项系数是　8　，常数项是　5　． 【分析】先把二次函数化y＝ax2+bx+c的形式，再根据a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项进行解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝2（x+2）2﹣3可化为y＝2x2+8x+5， ∴二次项系数是2，一次项系数是8，常数项是5． 故答案为：2，8，5． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 13．y＝（m2﹣2m﹣3）x2+（m﹣1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是　m≠﹣1且m≠3　． 【分析】保证x2的系数不为0即可． 【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣3≠0，（m﹣3）（m+1）≠0，解得m≠﹣1且m≠3． 【点评】二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2． 三．解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3． （1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式； （2）这三个函数中，哪些是二次函数？ 【分析】（1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【解答】解：（1）∵圆柱的底面半径为rcm，底面周长为Ccm， ∴C＝2πr（cm）； 又∵圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，圆柱的体积为Vcm3， ∴V＝πr2×6＝6πr2（cm3）． ∵设圆柱的高为6cm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3， ∴V＝π×（）2×6＝（cm3）． 综上所述，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是：C＝2πr、V＝6πr2、V＝． （2）根据二次函数的定义知，V关于r的关系式V＝6πr2是二次函数，V关于C的关系式V＝是二次函数． 【点评】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． 15．（8分）已知函数y＝（m2﹣m﹣2）+（m+1）x+m． （1）当m取何值时为一次函数？并求出其关系式； （2）当m取何值时为二次函数？并求其关系式． 【分析】（1）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣m﹣2＝0且m+1≠0； （2）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣5m﹣4＝2且m2﹣m﹣2≠0． 【解答】解：（1）依题意，得m2﹣m﹣2＝0且m+1≠0，或m2﹣5m﹣4＝1或m2﹣5m﹣4＝0且m+1≠0， 解得m＝2，m＝，m＝ 关系式为y＝3x+2；y＝x+；y＝x+； （2）依题意，得m2﹣5m﹣4＝2且m2﹣m﹣2≠0， 解得m＝6； 关系式为y＝28x2+7x+6． 【点评】本题主要考查一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 16．（8分）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3； （2）y＝﹣2x2﹣7； （3）y＝﹣x2+x； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2． 【分析】根据二次函数的定义，一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；对于（1）符合二次函数的一般形式，确定a，b，c即可，对于（2）中的一次项可以看作0x，对于（3）常数项可以看作0，对于（4）化简后为y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2＝﹣1，由此可以解答本题． 【解答】解：（1）是二次函数，二次项系数是﹣0.9、一次项系数是2、常数项是﹣3； （2）是二次函数，二次项系数是﹣2、一次项系数是0、常数项是﹣7； （3）是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是1、常数项是0； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2 ＝x2﹣1﹣x2 ＝﹣1， 不是二次函数． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 17．（8分）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 【分析】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可． 【解答】解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p＝m（m﹣5）＝m2﹣5m，是二次函数； （2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S＝100π﹣4x2，是二次函数； （3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S＝（60﹣2a）（40﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，是二次函数． 【点评】本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键． 18．（8分）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项？ （1）3y＝3（x﹣1）2+1 （2）y＝﹣0.5（x﹣1）（x+4） （3）s＝3﹣2t2 （4）y＝2x（x2+3x﹣1）（5）y＝1﹣x2． 【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【解答】解：（1）3y＝3（x﹣1）2+1是二次函数，二次项是x2，一次项是﹣2x，常数项是； （2）y＝﹣0.5（x﹣1）（x+4）是二次函数，二次项是﹣0.5x2，一次项是﹣1.5x，常数项是2； （3）s＝3﹣2t2是二次函数，二次项是﹣2t2，一次项是0，常数项是3； （4）y＝2x（x2+3x﹣1）不是二次函数， （5）y＝1﹣x2是二次函数，二次项是﹣x2，一次项是0，常数项是1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数． 19．（8分）下列各式中，y一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数． （1）y＝x2+2x﹣5； （2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2； （3）y＝ax2+bx+c； （4）y＝mx2+（m﹣2）x+1； （5）y＝（b﹣1）x2+3； （6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数）． 【分析】根据二次函数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣5中，y一定是x的二次函数； （2）y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2，y一定不是x的二次函数； （3）y＝ax2+bx+c，y不一定是x的二次函数，当a≠0时，y是x的二次函数； （4）y＝mx2+（m﹣2）x+1，y不一定是x的二次函数，当m≠0时，y是x的二次函数； （5）y＝（b﹣1）x2+3，y不一定是x的二次函数，当b≠1时，y是x的二次函数； （6）y＝2x2+3x﹣k（k为常数），y，一定是x的二次函数． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$