1.4　二次函数的应用 专题培优讲义 2023-2024学年浙教版九年级数学上册

浙教版数学九年级上册专题培优 专题2　二次函数的应用 【知识梳理】 1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时， 可设表达式为一般式：y＝______________(a≠0)； (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时， 可设表达式为顶点式：y＝______________(a≠0)； (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时， 可设表达式为交点式：y＝______________(a≠0)． 2．抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题．由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的线段长获得对称信息． 3．应用二次函数解决实际问题一般有两种类型： (1)抛物线模型类问题，这类问题解题的关键在于根据抛物线的形状和位置确定抛物线的表达式； (2)函数模型类问题，这类问题解题的关键在于根据题中数量关系列出函数表达式，利用函数表达式分析、解决问题． 4．二次函数与一元二次方程、不等式有着密切关系，解决函数、方程、不等式等相关知识的综合性问题，数形结合思想是重要的思想方法． 【例题探究】 【例1】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连结PQ，则线段PQ的最小值是(　　) A．20 cm B．18 cm C．2 cm D．3 cm 【方法归纳】　实际问题中的最值问题，一般先建立函数关系式，再利用函数的性质进行求解，本例中要注意自变量t的取值范围，最小值不是在t＝3时取到． 【例2】　某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝at2＋bt(a＜0)．如图，记录了y与t的两组数据．根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为(　　) A．2.25 s B．1.25 s C．0.75 s D．0.25 s 【方法归纳】　本题主要考查二次函数的应用，正确得出函数表达式是解题的关键． 【例3】　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点(不与各顶点重合)，且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S(图中阴影部分)，AE＝x. (1)求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 【方法归纳】　函数最值问题一般先建立变量之间的函数关系，再利用函数的性质解决． 【例4】　小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2. (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【方法归纳】　本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的表达式． 【例5】　某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yA＝x，投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yB＝－x2＋2x. (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m＞0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【方法归纳】　本题考查了二次函数的应用、一元二次方程等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式． 【例6】　服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件16元，根据市场调查，以单价20元/件批发给经销商，经销商愿意经销8 000件，并且表示单价每降低0.2元/件，愿意多经销800件．设厂家此品牌T恤衫的批发价为每件x元，所获利润为w元． (1)用含x的代数式表示w. (2)如果批发量不能少于16 000件，那么批发价为每件多少元时厂家可以获得最大利润？ 【方法归纳】　本题主要考查二次函数的应用以及不等式的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【例7】　某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. (1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数表达式． (2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本) (3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？ 　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　② 【方法归纳】　本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 【答案解析】 【知识梳理】 1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时， 可设表达式为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时， 可设表达式为顶点式：y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)； (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时， 可设表达式为交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题．由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的线段长获得对称信息． 3．应用二次函数解决实际问题一般有两种类型： (1)抛物线模型类问题，这类问题解题的关键在于根据抛物线的形状和位置确定抛物线的表达式； (2)函数模型类问题，这类问题解题的关键在于根据题中数量关系列出函数表达式，利用函数表达式分析、解决问题． 4．二次函数与一元二次方程、不等式有着密切关系，解决函数、方程、不等式等相关知识的综合性问题，数形结合思想是重要的思想方法． 【例题探究】 【例1】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连结PQ，则线段PQ的最小值是(　　) A．20 cm B．18 cm C．2 cm D．3 cm 【思路点拨】　在Rt△PCQ中，利用勾股定理表示出PQ的长，再利用二次函数的性质即可求得线段PQ的最小值． 【解题过程】　∵AP＝CQ＝t，∴PC＝6－t. ∵∠C＝90°， ∴PQ＝＝＝. ∵0≤t≤2， ∴当t＝2时，PQ的值最小，为＝2. 故选C． 【例2】　某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝at2＋bt(a＜0)．如图，记录了y与t的两组数据．根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为(　　) A．2.25 s B．1.25 s C．0.75 s D．0.25 s 【思路点拨】　先用待定系数法求出二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可得出该汽车刹车后到停下来所用的时间． 【解题过程】　将点(0.5，6)，(1，9)的坐标代入y＝at2＋bt(a＜0)中，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－6t2＋15t， 当t＝－＝－＝＝1.25 (s)时，y取到最大值，此时汽车停下． 故选B. 【例3】　如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点(不与各顶点重合)，且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S(图中阴影部分)，AE＝x. (1)求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 【思路点拨】　(1)利用四边形EFGH面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，即可得出y与x的函数表达式；(2)根据二次函数的性质求解即可． 【解题过程】　(1)在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝4， ∵AE＝AH＝CG＝CF＝x， ∴BE＝DG＝2－x，BF＝DH＝4－x， ∴S＝2×4－2×x2－2×＝－2x2＋6x(0＜x＜2)． 【解题过程】(2)∵S＝－2x2＋6x＝－2(x－)2＋. ∴当x＝时，S的值最大，最大值为. 【例4】　小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2. (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【思路点拨】　(1)在函数y＝－0.4x＋2.8中，令x＝0可得点P的坐标，再把点P的坐标代入函数y＝a(x－1)2＋3.2表达式即可得出a的值；(2)分别求出一次函数和二次函数图象与x轴的交点坐标，即可作出判断． 【解题过程】　(1)在y＝－0.4x＋2.8中，令x＝0得y＝2.8， ∴点P的坐标为(0，2.8)； 把P(0，2.8)代入y＝a(x－1)2＋3.2，得a＋3.2＝2.8. 解得a＝－0.4， ∴a的值是－0.4. 【解题过程】∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝5m， ∴C(5，0)， 在y＝－0.4x＋2.8中，令y＝0，得x＝7， 在y＝－0.4(x－1)2＋3.2中，令y＝0，得x＝2＋1≈3.82或x＝－2＋1(舍去)， ∵|7－5|＞|3.82－5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 【例5】　某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yA＝x，投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yB＝－x2＋2x. (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m＞0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【思路点拨】　(1)把x＝10代入yA＝x即可得出答案；(2)当x＝m时，yA＝yB，解方程即可得出m的值；(3)设投入B项目的资金为t万元，投入A项目的资金为(32－t)万元，一年后获利为W万元，列出W关于t的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可得出答案． 【解题过程】当x＝10时，yA＝×10＝4(万元)． ∴将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元． 【解题过程】根据题意，当x＝m时，yA＝yB， ∴ m＝－ m2＋2m， ∴m＝8或m＝0(舍去)， ∴m＝8. 【解题过程】(3)设投入B项目的资金为t万元，投入A项目的资金为(32－t)万元，一年后获利为W万元， 根据题意，得W＝－ t2＋2t＋ (32－t)＝－ (t－4)2＋16， ∴当t＝4时，W最大＝16，32－t＝28， ∴投入A项目的资金为28万元，投入B项目的资金为4万元时，一年后获利最大，最大值为16万元． 【例6】　服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件16元，根据市场调查，以单价20元/件批发给经销商，经销商愿意经销8 000件，并且表示单价每降低0.2元/件，愿意多经销800件．设厂家此品牌T恤衫的批发价为每件x元，所获利润为w元． (1)用含x的代数式表示w. (2)如果批发量不能少于16 000件，那么批发价为每件多少元时厂家可以获得最大利润？ 【思路点拨】　(1)直接利用销量×每件利润＝总利润，进而得出答案；(2)利用批发量不能少于16 000件，得出x的取值范围，再利用二次函数的增减性得出答案． 【解题过程】　(1)由题意，得w＝(x－16)(8 000＋×800) ＝(x－16)(－4 000x＋88 000)＝－4 000x2＋152 000x－1 408 000. (2)根据题意，得8 000＋×800≥16 000. 解得x≤18. 又w＝－4 000x2＋152 000x－1 408 000＝－4 000(x－19)2＋36 000， ∵x≤18， ∴当x＝18时，w最大＝32 000(元)． 答：批发价为每件18元时，厂家可获得最大利润． 【例7】　某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. (1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数表达式． (2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本) (3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？ 　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　② 【思路点拨】　(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2＋m，即可得出抛物线的函数表达式；(2)根据条件先求出点N的坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)先根据题意求得w关于n的二次函数关系式，并确定自变量n的取值范围，再根据二次函数的性质即可求解． 【解题过程】　(1)∵长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. ∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH－OH＝4－3＝1，∴E(0，1)，D(2，0)， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋1. 【解题过程】(2)∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，∴当x＝1时，y＝， ∴N(1，)，∴MN＝，∴S矩形MNFG＝MN·GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是425＋×50＝500(元)． (3)根据题意，得w＝(n－500)[100＋ ]＝－2(n－600)2＋20 000， ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100＋ ≤160，解得n≥620. ∵－2＜0， ∴当n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值，为19 200元． 答：公司将销售单价n定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元． 学科网（北京）股份有限公司 $$