专题培优《专题1 二次函数的图象与性质》2024-2025学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册专题培优 专题1 二次函数的图象与性质 【知识梳理】 1.形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其图象是抛物线. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=_,顶点坐标是(_,_). 当a>0时,抛物线的开口向上,当x≤_时,y随x的增大而减小;当x≥_时,y随x的增大而增大,当x=_时,y有最小值_. 当a<0时,抛物线的开口向下,当x≤_时,y随x的增大而增大;当x≥_时,y随x的增大而减小,当x=_时,y有最大值_. 3.作二次函数的图象,一般采用“五点法”,即二次函数的图象与坐标轴的交点、顶点,以及图象与y轴交点及其关于对称轴的对称点. 4.二次函数图象的平移规律:函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(h>0)或向左(h<0)平移_个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移_个单位得到. 5.二次函数表达式的三种形式: (1)一般式:y=_(a≠0). (2)顶点式:y=_(a≠0,其中(-m,k)是抛物线的顶点坐标). (3)交点式:y=_(a≠0,其中x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根). 6.y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的讨论( =b2-4ac): (1)图象与x轴有两个交点 _>0; (2)图象与x轴有一个交点 _=0; (3)图象与x轴没有交点 _<0; (4)图象与x轴有交点 _≥0. 7.两个结论: (1)设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0),则AB= _. (2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点A(x1,m),B(x2,m),则对称轴为直线x= _. 【例题探究】 【例1】 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8). (2)已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1). (3)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2. 【方法归纳】 用待定系数法求二次函数表达式,要根据给定的条件的特点,选择合适的方法来求解.若已知三点,可设一般式;已知顶点,可设顶点式;已知x轴的两个交点,可设交点式. 【例2】 将抛物线y=x2+4x+3向右平移n(n>0)个单位得到一条新抛物线,若点A(2,y1),B(4,y2)在新抛物线上,且y1>y2,则n的值可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【方法归纳】 二次函数图象平移规律:左加右减,上加下减. 【例3】 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:①abc>0;②2a+b=0;③3b-2c<0;④am2+bm≥a+b(m为实数).其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【方法归纳】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数图象的开口方向决定a的符号;对称轴的位置和开口方向可判断b的符号;二次函数图象与y轴交点的位置决定c的符号. 【例4】 如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D. (1)求二次函数的表达式. (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值时x的取值范围. (3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求 ADE的面积. 【方法归纳】 坐标平面内三角形的面积一般转化为可求面积的和或差,要充分利用图象中的交点坐标. 【例5】 在平面直角坐标系中,二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b,其中a-b=4. (1)若此函数图象过点(1,3),求这个二次函数的表达式. (2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点,当x1+x2=2时,y1=y2,求a的值. (3)若点(-1,t)在此二次函数图象上,且当x≥-1时y随x的增大而增大,求t的取值范围. 【方法归纳】 本题考查了待定系数法求二次函数表达式、函数图象上点的坐标的特征、二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键. 【例6】 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4). (1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式. (2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值. (3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使 BDQ中BD边上的高为2?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【方法归纳】 平行于y轴的直线上两点间的距离等于这两点纵坐标差的绝对值.解题时,要善于发现 QHG是等腰直角三角形,把高的条件转化为线段QG的长度,从而利用一元二次方程的知识求得点Q的坐标. 【例7】 如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及点G的坐标. (2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 【方法归纳】 本题考查用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象上点的坐标特征.解题时注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 【答案解析】 【知识梳理】 1.形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其图象是抛物线. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-,顶点坐标是(-,). 当a>0时,抛物线的开口向上,当x≤-时,y随x的增大而减小;当x≥-时,y随x的增大而增大,当x=-时,y有最小值. 当a<0时,抛物线的开口向下,当x≤-时,y随x的增大而增大;当x≥-时,y随x的增大而减小,当x=-时,y有最大值. 3.作二次函数的图象,一般采用“五点法”,即二次函数的图象与坐标轴的交点、顶点,以及图象与y轴交点及其关于对称轴的对称点. 4.二次函数图象的平移规律:函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到. 5.二次函数表达式的三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x+m)2+k(a≠0,其中(-m,k)是抛物线的顶点坐标). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,其中x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根). 6.y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的讨论( =b2-4ac): (1)图象与x轴有两个交点 >0; (2)图象与x轴有一个交点 =0; (3)图象与x轴没有交点 <0; (4)图象与x轴有交点 ≥0. 7.两个结论: (1)设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0),则AB= . (2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点A(x1,m),B(x2,m),则对称轴为直线x= . 【例题探究】 【例1】 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8). (2)已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1). (3)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2. 【解】 (1)设二次函数的关系式为y=ax2+bx+c, ∵二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8), ∴解得 ∴二次函数的关系式为y=-2x2+12x-8. (2)∵二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上, ∴顶点坐标为(1,2), 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2, 将点(3,-1)代入,得a=-, ∴二次函数的关系式为y=-(x-1)2+2. (3)方法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), 设二次函数的关系式为y=a(x-1)(x+3). 又∵函数图象顶点到x轴的距离等于2, ∴函数图象顶点坐标为(-1,-2)或(-1,2), 代入,得a= , ∴y=x2+x-或y=-x2-x+. 方法二:二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且函数图象顶点到x轴的距离等于2, ∴函数图象顶点坐标为(-1,-2)或(-1,2), 设二次函数的关系式为y=a(x+1)2-2或y=a(x+1)2+2, 将(1,0)点代入,得a=或a=-, ∴y=x2+x-或y=-x2-x+. 【例2】 将抛物线y=x2+4x+3向右平移n(n>0)个单位得到一条新抛物线,若点A(2,y1),B(4,y2)在新抛物线上,且y1>y2,则n的值可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解题过程】 ∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1, ∴平移后新抛物线的表达式为y=(x+2-n)2-1. ∵点A(2,y1),B(4,y2)在新抛物线上,且y1>y2, ∴(4-n)2-1>(6-n)2-1, ∴n>5. 故选D. 【例3】 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:①abc>0;②2a+b=0;③3b-2c<0;④am2+bm≥a+b(m为实数).其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】 由二次函数图象的对称轴、开口方向、图象与y轴的交点即可判断①和②;当x=-1时,y=a-b+c>0即可判断③;根据图象知,当x=1时,y有最小值,即可判断④. 【解题过程】 ∵对称轴为直线x=-=1, ∴b=-2a,即2a+b=0.故②正确; ∵a>0,c<0,b=-2a, ∴b<0, ∴abc>0,故①正确; ∵当x=-1时,y=a-b+c>0, ∵a=-b, ∴-b-b+c>0,即3b-2c<0,故③正确; 根据图象知,当x=1时,y有最小值, ∴当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c, ∴am2+bm≥a+b(m为实数).故④正确. 故选D. 【例4】 如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D. (1)求二次函数的表达式. 【解题过程】 设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0). 将点C(0,3)代入二次函数表达式,得3=-3a,∴a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-1),即y=-x2-2x+3. (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值时x的取值范围. 【解题过程】 ∵C、D是二次函数图象上的一对对称点,二次函数图象的对称轴为直线x=-1, ∴D(-2,3).∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x<-2或x>1. (3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求 ADE的面积. 【解题过程】 设直线BD的函数表达式为y=mx+n(m≠0). 将点B(1,0),D(-2,3)的坐标代入,得解得 ∴直线BD的函数表达式为y=-x+1. 把x=0代入,求得E(0,1),∴OE=1. ∵AB=4,∴S ADE=S ABD-S ABE= 4 3- 4 1=4. 【思路点拨】 (1)设交点式,将点C的坐标代入即可求得二次函数的表达式;(2)求出点D的坐标,利用函数图象即可得出x的取值范围;(3) ADE的面积可转化为 ABD的面积与 ABE的面积的差. 【例5】 在平面直角坐标系中,二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b,其中a-b=4. (1)若此函数图象过点(1,3),求这个二次函数的表达式. 【解题过程】 ∵此函数图象过点(1,3),a-b=4, ∴3=a+a+1+a-4,解得a=2, ∴b=-2, ∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-2. (2)若(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点,当x1+x2=2时,y1=y2,求a的值. 【解题过程】 ∵(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点,当x1+x2=2时,y1=y2, ∴这两个点关于对称轴对称, ∴-=,即-=1, ∴a=-. (3)若点(-1,t)在此二次函数图象上,且当x≥-1时y随x的增大而增大,求t的取值范围. 【解题过程】 ∵点(-1,t)在二次函数图象上, ∴t=a-a-1+a-4=a-5. ∵当x≥-1时y随x的增大而增大, ∴a>0,且- ≤-1, ∴0<a≤1, ∴-5<t≤-4. 【思路点拨】 (1)用待定系数法求解即可;(2)由y1=y2可得这两个点关于对称轴对称,再利用对称轴公式计算即可;(3)由题意可得t=a-5,再根据当x≥-1时y随x的增大而增大确定a的取值范围,即可得出t的取值范围. 【例6】 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4). (1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式. 【解题过程】 ∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4), ∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4(a≠0). ∵点B(3,0)在该抛物线上, ∴0=a(3-1)2+4,解得a=-1. ∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3. ∵点D在y轴上,令x=0,可得y=3, ∴D点坐标为(0,3). ∴可设直线BD的表达式为y=kx+3(k≠0). 把B点坐标代入,可得3k+3=0,解得k=-1. ∴直线BD的表达式为y=-x+3. (2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值. 【解题过程】 (2)设P点横坐标为m(m>0),则P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3). ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-)2+. ∴当m=时,PM有最大值. (3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使 BDQ中BD边上的高为2?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题过程】 (3)如图,过Q作QG∥y轴,交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于点H. 设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3). ∴QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|. ∵ BOD是等腰直角三角形, ∴∠DBO=45 . ∴∠HGQ=∠BGE=45 . 当 BDQ中BD边上的高为2时,QH=HG=2, ∴QG= 2=4.∴|-x2+3x|=4. 当-x2+3x=4时, =9-16<0,方程无实数根; 当-x2+3x=-4时,解得x=-1或x=4. ∴Q(-1,0)或(4,-5). 综上可知,存在满足条件的点Q,其坐标为(-1,0)或(4,-5). 【思路点拨】 (1)可设抛物线的表达式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的表达式,再求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD的表达式;(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q作QH⊥BD于点H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得 QHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标. 【例7】 如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及点G的坐标. (2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 【思路点拨】 (1)先求出点B坐标,根据OA=OB求得点A坐标,把点A坐标代入抛物线表达式可求出c的值,即可求解;(2)先确定出点M的坐标,再确定点N坐标,结合图象,即可求解. 【解题过程】 (1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B, ∴点B(0,c). ∵OA=OB=c, ∴点A(c,0), ∴0=-c2+2c+c, ∴c=3或c=0(舍去), ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点G的坐标为(1,4). (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴对称轴为直线x=1. ∵点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度, ∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为6, ∴点M坐标为(-2,-5)或(4,-5),点N坐标为(6,-21). ∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点, ∴当点M坐标为(-2,-5),点N坐标为(6,-21)时,-21≤yQ≤4; 当点M坐标为(4,-5),点N坐标为(6,-21)时,-21≤yQ≤-5. 学科网(北京)股份有限公司 $$