第一章 勾股定理单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

第一章 勾股定理单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 勾股定理，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长， ∴小正方形的面积为：； 故选C． 2．在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（   ） A．5 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据勾股定理求解即可． 此题考查了坐标平面内两点间的距离的计算方法，能够熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得． 故选：A． 3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：． 答：折断处离地面尺． 故选：C． 4．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 5．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理和三角形面积的计算，求出直角三角形的斜边长是解题的关键．先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴根据勾股定理求得斜边为：， ∵直角三角形的面积为：， ∴此直角三角形斜边上的高为：， 故选：D． 6．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在的水管，水管上的点E处安装有红外线感应装置．已知出水口D到点C的距离为，出水口D到点E的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形和勾股定理的实际问题，较为简单，要熟练掌握．连接，在中，由勾股定理得，根据求出的长度即可． 【详解】解：连接，如下图所示， ∵， ∴是直角三角形 在中，，，由勾股定理得： ∵， ∴ 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为， 故选：B． 7．已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵翻折后与完全重合， ， 设，则， ∵在中，， 即， 解得，， ， 故选：C． 8．在中，斜边，则的值为（    ） A．32 B．28 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．直接根据勾股定理得出即可求解． 【详解】解：在中，斜边， ， ， 故选：A． 9．《九章算术》中记载：今有户不知高，广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，不知其长、短．横放，竿比门长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：B． 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可知，，再根据三角形面积找出与距离的格点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形的面积公式可知，，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：由正方形的面积公式可知，， 根据勾股定理，， ， 故答案为：． 12．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是 ． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理计算，再分、两种情况，根据勾股定理计算．本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解： ，，四边形是长方形 ∴ ∵， ， 在中，； 当时，， 则（秒， 当时，，即， 解得，， 当或时，为直角三角形． 故答案为：或 13．如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，进而求出的，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：3． 14．如图，在钝角中，已知，取边和中点分别作，，分别交于点若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的上的点到两端距离相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 连接，易得，根据垂直平分线的性质得出，则，进而得出，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点F、点G分别是和中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：， 故答案为：15． 15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：．    16．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 【答案】6 【分析】由折叠的性质得，设，在中，建立方程，求出，再由三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 18．已知：如图，在中，，是边上的高．如果，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 19．一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼6m的B处升起云梯搭在火灾窗口（如图），已知云梯长10m，云梯底部距地面1.8m，发生火灾的住户窗口A距离地面多少米？ 【答案】米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键． 根据勾股定理得出的长，由题意可得发生火灾的住户窗口A距离地面的距离为，进而得出答案即可． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， 则（米）， 则（米）． 答：发生火灾的住户窗口距离地面9.8米． 20．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】本题主要考查了考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理以及数形集合思想是解题关键． （1）根据勾股定理和，由图形关系可得，解得，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）由，据此可求出，然后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． ∵， ∴，整理得：， ∴， （2）解：∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 22．【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）10；（2）34；（3）；（4）24 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，勾股定理解三角形，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：34； （3）∵，的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 23．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 【答案】(1)修建的公路的长为 (2)一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）先根据勾股定理得出，再根据列出方程计算即可； （2）先根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴修建的公路的长为． （2）解：∵， ∴根据勾股定理可得：， ∴ 答：一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程为． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据条件证即可； （2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键． 25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 勾股定理，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 2．在直角坐标系中，已知点，，则线段的长度为（   ） A．5 B．3 C．4 D．7 3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（　　） A．4 B． C． D． 4．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（   ） A． B．6 C． D． 6．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在的水管，水管上的点E处安装有红外线感应装置．已知出水口D到点C的距离为，出水口D到点E的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（    ） A． B． C． D． 7．已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．在中，斜边，则的值为（    ） A．32 B．28 C．8 D．4 9．《九章算术》中记载：今有户不知高，广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，不知其长、短．横放，竿比门长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（      ） A． B． C． D． 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ． 12．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是 ． 13．如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 14．如图，在钝角中，已知，取边和中点分别作，，分别交于点若，则 ． 15．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    16．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 18．已知：如图，在中，，是边上的高．如果，，求的长． 19．一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼6m的B处升起云梯搭在火灾窗口（如图），已知云梯长10m，云梯底部距地面1.8m，发生火灾的住户窗口A距离地面多少米？ 20．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 22．【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 23．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$