专题07 实数（10大题型 +过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题10 实数 目录 【题型一 实数的概念理解】 1 【题型二 实数的运算】 2 【题型三 估算无理数的大小】 2 【题型四 估算无理数的整数部分或小数部分】 2 【题型五 实数与数轴】 3 【题型六 实数的大小比较】 3 【题型七 程序设计中的实数运算】 4 【题型八 新定义中的实数运算】 4 【题型九 实数运算的实际应用】 5 【题型十 实数运算中的规律探究】 5 【题型一 实数的概念理解】 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式训练】 1．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）下列各实数中，的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【题型二 实数的运算】 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）计算： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）计算：． 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) 【题型三 估算无理数的大小】 例题：（2023·江苏南京·一模）与最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一个比大且比小的整数： ． 【题型四 估算无理数的整数部分或小数部分】 例题：（23-24八年级下·福建福州·期末）的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）设的小数部分为b，那么b的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的整数部分为 ，小数部分为 ． 【题型五 实数与数轴】 例题：（2023·北京东城·模拟预测）数轴上有四点，最接近的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【题型六 实数的大小比较】 例题：（2024·重庆·模拟预测）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在，，，0这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【题型七 程序设计中的实数运算】 例题：（22-23八年级上·河南郑州·期中）根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式训练】 1．（21-22八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【题型八 新定义中的实数运算】 例题：（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）对于自然数，，，，符号表示运算．已知，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 2．（22-23七年级上·河南郑州·开学考试）对于任意自然数a，b，如果，已知，那么 ． 【题型九 实数运算的实际应用】 例题：（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 2．（2023·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【题型十 实数运算中的规律探究】 例题：（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 一、单选题 1．（2023·山东枣庄·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B． C．13 D．1 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）在实数（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，有理数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 7．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的整数部分是 ，介于整数 和 中间． 10．（22-23七年级下·山东济宁·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分， 又例如： ∵即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)若、，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，0，，227，，，， (1)正有理数集合：{        …} (2)无理数集合：{        …} (3)非负整数集合：{        …} (4)分数集合：{        …} 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 14．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 15．（22-23七年级下·重庆江津·期中）计算： (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 实数 目录 【题型一 实数的概念理解】 1 【题型二 实数的运算】 2 【题型三 估算无理数的大小】 4 【题型四 估算无理数的整数部分或小数部分】 5 【题型五 实数与数轴】 6 【题型六 实数的大小比较】 7 【题型七 程序设计中的实数运算】 8 【题型八 新定义中的实数运算】 9 【题型九 实数运算的实际应用】 11 【题型十 实数运算中的规律探究】 12 【题型一 实数的概念理解】 例题：（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）下列各实数中，的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数a的相反数是-a进行求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了求实数相反数的能力，关键是能准确理解该知识，并正确求解． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 【题型二 实数的运算】 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂运算法则与会求绝对值是解题的关键． 先按负整指数幂运算法则计算，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂，零次幂，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先乘方，再乘除，最后算加减，即可求解； （2）先进行乘方和开方运算，再进行除法运算，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型三 估算无理数的大小】 例题：（2023·江苏南京·一模）与最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 运用算术平方根的知识进行估算求解即可． 【详解】解： ， ， 即与最接近的整数是3， 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一个比大且比小的整数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴比大且比小的整数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四 估算无理数的整数部分或小数部分】 例题：（23-24八年级下·福建福州·期末）的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是2； 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）设的小数部分为b，那么b的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据算术平方根的定义得到，即可求出b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故选：B． 2．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的整数部分为 ，小数部分为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解：， ， 的整数部分为：， 小数部分为， 故答案为：， 【题型五 实数与数轴】 例题：（2023·北京东城·模拟预测）数轴上有四点，最接近的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，先根据无理数的估算可得，再根据实数与数轴的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知，最接近的点是， 故选C． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选：． 2．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示实数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故点A对应的数是． 故答案为：． 【题型六 实数的大小比较】 例题：（2024·重庆·模拟预测）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握负数的大小的方法，即负数的绝对值越大，本身便越小．根据实数的大小比较方法进行解答即可． 【详解】解：，，，，的绝对值分别为1，2，3，4，， ， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在，，，0这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的比较大小，解题关键是熟练掌握实数比较大小的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据实数的大小比较法则，求解即可． 【详解】解：∵ ∴在，，，0这四个数中，最小的数是． 故选：D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 【题型七 程序设计中的实数运算】 例题：（22-23八年级上·河南郑州·期中）根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式． 【详解】解：， ． 故选：D． 【变式训练】 1．（21-22八年级下·山东聊城·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 【题型八 新定义中的实数运算】 例题：（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）对于自然数，，，，符号表示运算．已知，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算．理解题中的定义是解题的关键． 根据题中的新运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ． 故选C． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）定义新运算：我们规定．则（  ） A．32 B．36 C．68 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：C． 2．（22-23七年级上·河南郑州·开学考试）对于任意自然数a，b，如果，已知，那么 ． 【答案】896 【分析】本题主要考查定义新的运算，解一元一次方程，解题的关键是能理解新定义的运算． 根据新定义的运算规则，把已知的数代入，得到关于x的方程，再解方程即可． 【详解】解：因为， 所以， ， ， ， ， ． 故答案为：896． 【题型九 实数运算的实际应用】 例题：（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 2．（2023·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【题型十 实数运算中的规律探究】 例题：（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 一、单选题 1．（2023·山东枣庄·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B． C．13 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根、乘方、绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 故选：D 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、中的，故该数不存在，则此项不符合题意； C、是无理数，且，则此项符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：C． 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）在实数（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，有理数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了实数分类，算术平方根，立方根，整数和分数统称为有理数；无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：，， 在实数、、0、、、、、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，有理数有、0、、、、，共6个， 故选：B． 4．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的大小估算，绝对值的化简等知识．先判断处，得到，再根据绝对值的性质即可化简求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数估值．先确定比小的最大整数，再根据题意写出符合的整数． 【详解】解：∵，， ∴，， 则大于小于的整数有：2或3或4． 故答案为：2（答案不唯一）． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】解：，，2的算术平方根是， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的整数部分是 ，介于整数 和 中间． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， ∵， ∴， ∴介于整数和中间， 故答案为：，，． 10．（22-23七年级下·山东济宁·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是实数与数轴和求一个数的算术平方根，由数轴可知，，因此，据此正确去除绝对值符号和开根号，计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故答案为：0． 三、解答题 11．（23-24七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分， 又例如： ∵即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)若、，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵、，分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，0，，227，，，， (1)正有理数集合：{        …} (2)无理数集合：{        …} (3)非负整数集合：{        …} (4)分数集合：{        …} 【答案】(1) (2)， (3)0，227 (4)，， 【分析】本题考查了有理数的分类：整数和分数的统称；有理数还可以分为0和正有理数、负有理数，据此作答即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{…} （2）解：无理数集合：{，} （3）解：非负整数集合：{0，227…} （4）解：分数集合：{，，…} 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）根据无理数的估算方法得到，则，据此求出A、B的值即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． 14．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 15．（22-23七年级下·重庆江津·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)26 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算规则，按照运算的优先级进行计算．同时，注意符号的处理，避免因符号错误导致计算结果错误． （1）利用算术平方根，立方根的定义化简计算即可； （2）利用算术平方根，立方根的定义，乘方的意义化简，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$