专题05 平方根（9大题型 +过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题05 平方根 目录 【题型一 平方根的概念】 1 【题型二 求一个数的（算术）平方根】 2 【题型三 求代数式的（算术）平方根】 2 【题型四 由（算术）平方根求式子的值】 2 【题型五 由平方根的概念解方程】 3 【题型六 由算术平方根的非负性求值】 3 【题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 3 【题型八 平方根与数轴的综合】 4 【题型九 算术平方根的规律探究】 5 【题型一 平方根的概念】 例题：（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·辽宁鞍山·一模）下列说法正确的是（    ） A．负数和零没有平方根 B．的倒数是2002 C．是分数 D．0和1的相反数是它本身 2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【题型二 求一个数的（算术）平方根】 例题：（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）下列叙述正确的是（    ） A．25的平方根是5 B．5是25的平方根 C．一个数的算术平方根一定是正数 D．的平方根是 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 2．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 【题型三 求代数式的（算术）平方根】 例题：（21-22八年级下·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 2．（22-23七年级下·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 【题型四 由（算术）平方根求式子的值】 例题：（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A．2 B．4 C．25 D． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是 . 【题型五 由平方根的概念解方程】 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【变式训练】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）若式子成立，则的取值为（    ） A． B．2 C． D．不存在 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）若，则x的值为 ． 【题型六 由算术平方根的非负性求值】 例题：（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【变式训练】 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．－1 C．13 D．1 2．（22-23八年级下·河南漯河·期中）一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 【题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【题型八 平方根与数轴的综合】 例题：（21-22八年级上·山东枣庄·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 2．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型九 算术平方根的规律探究】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 2．（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．的算术平方根是6 B．若，则 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．一个锐角的余角一定大于这个锐角 4．（2024九年级下·浙江·专题练习）有理数4的平方根是（　　） A． B． C．2 D． 5．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 二、填空题 6．（2023·福建厦门·模拟预测）计算： ； ． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，且，则的平方根是 ． 9．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 12．（22-23七年级下·河南信阳·期中）若一正数的两个平方根分别是和，求的值． 13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 14．（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平方根 目录 【题型一 平方根的概念】 1 【题型二 求一个数的（算术）平方根】 2 【题型三 求代数式的（算术）平方根】 4 【题型四 由（算术）平方根求式子的值】 5 【题型五 由平方根的概念解方程】 6 【题型六 由算术平方根的非负性求值】 7 【题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 9 【题型八 平方根与数轴的综合】 10 【题型九 算术平方根的规律探究】 12 【题型一 平方根的概念】 例题：（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义，负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴ A．0有平方根，是0，故本选项不符合题意； B． ，是正数，有平方根，故本选项不符合题意； C．，没有平方根，故本选项符合题意； D．，有平方根，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．（2023·辽宁鞍山·一模）下列说法正确的是（    ） A．负数和零没有平方根 B．的倒数是2002 C．是分数 D．0和1的相反数是它本身 【答案】B 【分析】本题主要考查了有关实数的概念．根据平方根的定义、倒数的定义、无理数的定义以及倒数、相反数的概念即可判定． 【详解】解：A、0的平方根是0，故本选项不符合题意； B、的倒数是2002，故选项符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、1相反数是，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是， ∴它的另一个平方根是2024， 故答案为：2024． 【题型二 求一个数的（算术）平方根】 例题：（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）下列叙述正确的是（    ） A．25的平方根是5 B．5是25的平方根 C．一个数的算术平方根一定是正数 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义． 【详解】解：A. 25的平方根是，原说法错误； B. 5是25的平方根，说法正确； C. 一个数的算术平方根一定是非负数，原说法错误； D. 的平方根是，原说法错误； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 【答案】 3 【分析】此题考查了平方根和算术平方根的计算，根据平方根和算术平方根的概念求解即可． 【详解】的平方根是； 的算术平方根是3； 3的算术平方根是． 故答案为：；3；． 【题型三 求代数式的（算术）平方根】 例题：（21-22八年级下·广东佛山·期末）若，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a+b=±5， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键． 【题型四 由（算术）平方根求式子的值】 例题：（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A．2 B．4 C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是 . 【答案】或 【分析】本题主要考查的是平方根的性质依据平方根的性质，与相等或互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，． 故答案为：或． 【题型五 由平方根的概念解方程】 例题：（23-24七年级下·山东济宁·期末）若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴或． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）若式子成立，则的取值为（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查的是零次幂的含义，只要熟知任何非0实数的0次幂等于1即可．由于，故解方程即可，注意． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）若，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握若一个数的平方等于，则这个数称为的平方根是解题的关键． 利用平方根的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得：或． 故答案为：1或． 【题型六 由算术平方根的非负性求值】 例题：（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．－1 C．13 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代入即可求出． 【详解】解： ， ， 故选：A． 2．（22-23八年级下·河南漯河·期中）一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质．根据非负数的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当，是两直角边， ， ，， 解得，，， 当a，b都是直角边时，由勾股定理得，斜边， 当为斜边时，第三边， 故答案为：或1． 【题型七 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【题型八 平方根与数轴的综合】 例题：（21-22八年级上·山东枣庄·期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴知，a<0<b，得到a-b<0，化简==-b． 【详解】解：由数轴知，a<0<b， ∴a-b<0， ∴ = = =-b， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 2．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可． （2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行减法运算即可． （3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【详解】（1）解：点B表示的数为m为：， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ （3）∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数， ∴且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键． 【题型九 算术平方根的规律探究】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵（精确到）， ∴；； （3）解：∵ ∴；； 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 2．（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的计算，掌握运算法则是解答此题的关键．利用算术平方根的定义运算即可． 【详解】解：A．，所以此选项正确； B．，所以此选项错误； C．，所以此选项错误； D．，所以此选项错误； 故选：A． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．的算术平方根是6 B．若，则 C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．一个锐角的余角一定大于这个锐角 【答案】C 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键． 根据算术平方根、平方，平行公理，余角分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、的算术平方根是，故此选项是假命题，不合题意； B、若，则，故此选项是假命题，不合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项是真命题，符合题意； D、一个锐角的余角不一定大于这个锐角，故此选项是假命题，不合题意； 故选：C． 4．（2024九年级下·浙江·专题练习）有理数4的平方根是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：D． 5．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 二、填空题 6．（2023·福建厦门·模拟预测）计算： ； ． 【答案】 4 【分析】本题考查了乘方和算术平方根，据此相关性质内容进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：4， 7．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握正数有两个平方根，且互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，可求得x的值，即可解题． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：9． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质和平方根的定义，根据非负数的性质求出、、的值，代入计算求出的值，最后根据平方根的定义得出答案． 【详解】解：， ，， 解得，， 又， ， ， 的平方根是， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 12．（22-23七年级下·河南信阳·期中）若一正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，得出的值是解题关键．利用正数的两平方根和为0，进而求出的值，即可得出答案． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理： （1）根据算术平方根的性质可得，从而得到，即可求解； （2）分两种情况：若第三边为斜边，若为斜边，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若第三边为斜边，第三边的长为； 若为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． 14．（21-22七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，数轴，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）根据数轴上的点平移的变化规律即可解答； （3）分两种情况讨论：点C是的美好点或点D是的美好点．根据“美好点”的定义列出方程，求解后结合进行取舍，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵点B表示的数是，向右平移个单位得到点C， ∴点C表示的数是，即， ∵点C向右平移个单位得到点D， ∴点D表示的数是，即． 故答案为：， （3）解：若点C是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，不合题意，舍去； 若点D是的美好点， 则 解得：， ∴，， ∴，符合题意． 综上所述，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$