云南省大理白族自治州民族中学2024-2025学年高三上学期开学数学试题

1 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项 符合题目的 考试时间：120 大理州民族中学 2024-2025学年上学期8月开学考试 高三数学 分钟 总分：150 分 要求） 1.2 − 𝑖 1+𝑖 =( ) A. 5 2 + 1 2 𝑖 B. 5 2 − 1 2 𝑖 C. 3 2 + 1 2 𝑖 D. 3 2 − 1 2 𝑖 2.已知不等式𝑥2 − 3𝑥 + 2 ≤ 0的解集为𝐴，不等式 𝑥−2 𝑥−1 < 0的解集为𝐵，则𝐴是𝐵的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知向量?⃗⃗? ，?⃗? ，且| ?⃗⃗⃗? | = | ?⃗? | = 1，|3 ?⃗⃗⃗? − 2 ?⃗? | = √ 13，则向量?⃗⃗? ，?⃗? 的夹角为( ) A. 0 B. 𝜋 3 C. 𝜋 2 D. 𝜋 4.将𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛每个数均加上9，得到𝑥1 + 9, 𝑥2 + 9,⋯ , 𝑥𝑛 + 9，则两组数数字特征不同的是( ) A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 众数的个数 5.已知𝑙，𝑚是两条不重合的直线，𝛼，𝛽是两个不重合的平面，下列结论正确的是( ) A. 若𝑙 ⊂ 𝛼，𝑚 ⊂ 𝛽，𝑙 ⊥ 𝑚，则𝛼 ⊥ 𝛽 B. 若𝑙 ⊂ 𝛼，𝑚 ⊂ 𝛽，𝛼 ⊥ 𝛽，则𝑙 ⊥ 𝑚 C. 若𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑙，𝛼 ⊥ 𝛽，𝑚 ⊂ 𝛼，𝑚 ⊥ 𝑙，则𝑚 ⊥ 𝛽 D. 若𝑙 ⊂ 𝛼，𝑚 ⊂ 𝛽，𝛼//𝛽，则𝑙//𝑚 6.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑎𝑥2 − 3𝑥在( 1 2 , 3)上单调递增，则𝑎的取值范围为( ) A. , 4 9 , +∞) B. (0, 4 9 - C. , 9 8 , +∞) D. (0, 9 8 - 7.已知抛物线𝐶：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦点𝐹到其准线的距离为4，𝑀是抛物线𝐶上一点，若𝐴(2,3)，则|𝑀𝐹| + |𝑀𝐴|的最 小值为( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 8.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 3! + 𝑥5 5! − 𝑥7 7! + ⋯+ (−1)𝑛−1 𝑥2𝑛−1 (2𝑛−1)! + ⋯，(其中𝑥 ∈ 𝑅，𝑛 ∈ 𝑁∗， 𝑛！ = 1 × 2 × 3 × …× 𝑛，0！ = 1)，现用上述公式求1 − 1 2! + 1 4! − 1 6! + ⋯+ (−1)𝑛−1 1 (2𝑛−2)! + ⋯的值，下列选项中与 该值最接近的是( ) A. 𝑠𝑖𝑛30° B. 𝑠𝑖𝑛33° C. 𝑠𝑖𝑛36° D. 𝑠𝑖𝑛39° 二、多选题 (本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的。全对得 6 分，部分选对得部分分，选错 0分。) 9.对于函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥，下列说法正确的有( ) A. 2𝜋是𝑓(𝑥)的最小正周期 B. 关于( 𝜋 2 , 0)对称 C. 在,0, 𝜋 2 -的值域为,1, √ 2- D. 在, 𝜋 4 , 𝜋-上递增 10.已知抛物线𝛤：𝑥2 = 2𝑝𝑦(𝑝 > 0)，过其准线上的点𝑇(𝑡,−1)作𝛤的两条切线，切点分别为𝐴、𝐵，下列说法正确的是 ( ) A. 𝑝 = 4 B. 当𝑡 = 1时，𝑇𝐴 ⊥ 𝑇𝐵 C. 当𝑡 = 1时，直线𝐴𝐵的斜率为2 D. 直线𝐴𝐵过定点(0,1) 11.观察图象，下列结论错误的有( ) A. 若图中为𝑓(𝑥)图象，则𝑓(𝑥)在𝑥 = −2处取极小值 B. 若图中为𝑓′(𝑥)图象，则𝑓(𝑥)有两个极值点 C. 若图中为𝑦 = (𝑥 − 2)𝑓′(𝑥)图象，则𝑓(𝑥)在(0,2)上单调递增 D. 若图中为𝑦 = (𝑥 + 2)𝑓(𝑥)图象，则𝑓(𝑥) ≤ 0的解集为*𝑥| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2+ 三、填空题 (本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。) 12.等差数列*𝑎𝑛+的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆3 = 6，𝑆9 = 27，则𝑆6 = ______． 13.现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为 ． 14.若(1 + 2𝑥)2024 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + ⋯+ 𝑎2024𝑥 2024，则 𝑎1 − 2𝑎2 + 3𝑎3 − ⋯− 2024𝑎2024 = ． 2 四、解答题 (本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分) 已知△ 𝐴𝐵𝐶内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且√ 3𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 = 3𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵． (1)求角𝐵的值； (2)若𝑏 = 4，𝑎𝑐 = 16，求△ 𝐴𝐵𝐶的周长． 16.(本小题15分) 若数列* 1 𝑎𝑛 +是等差数列，则称数列*𝑎𝑛+为调和数列．若实数𝑎、𝑏、𝑐依次成调和数列，则称𝑏是𝑎和𝑐的调和中项． (1)求 1 3 和1的调和中项； (2)已知调和数列*𝑎𝑛+，𝑎1 = 6，𝑎4 = 2，求*𝑎𝑛+的通项公式． 17.(本小题15分) 如图，在三棱锥𝐴 − 𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 4，𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 = 5，𝐶𝐷 = 6． (1)求证：𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷； (2)求二面角𝐵 − 𝐴𝐶 − 𝐷平面角的余弦值． 18.(本小题17分) 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅 读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间(单 位：小时)，并将样本数据分成,0,2-，(2,4-，(4,6-，(6,8-，(8,10-，(10,12-，(12,14-，(14,16-，(16,18-九组，绘制成 如图所示的频率分布直方图． (1)求𝑎的值； (2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(8,10-， (10,12-两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(10,12- 内的学生人数为𝑋，求𝑋的分布列和数学期望． 19.(本小题17分) 设椭圆𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左焦点为𝐹，上顶点为𝐵，离心率为 √ 3 3 ，𝑂是坐标原点，且|𝑂𝐵| ⋅ |𝐹𝐵| = √ 6． (1)求椭圆𝐶的方程； (2)若直线𝑙：𝑦 = 𝑘𝑥与椭圆𝐶在第一象限内的交点为𝑃，|𝑃𝐵| = |𝑃𝑂|，直线𝐵𝐹与直线𝑙的交点为𝑄，求△ 𝐵𝑃𝑄的面积． 高三年级上学期见面考数学试愿参考答案 1,【答黑】解：(1)取CD的中点E,连接AB,BE, 一，单政看单项说择题（共多小题，得小题5分） 由AC=AD,所以AE上CD, 由C=8D,离以BE4GD 号12345678 又EnAE=E.8E,AEC平A8E: 答案DC C A CC D R 所以GD⊥平面AB店，又A8平直48E, 三一，多筑远样题（无手小8，解中遥。分，墙鲜帽分地爆计种，遇原日分） 所以AB⊥GD 91011 AC BD ABD 2团h(I)包CD⊥平有ABE,又CDC平面8CD,用以平面BCD⊥平面ABB, 由AG=BC=5,CE=3,所以AE=BE=4 又A8=4,所以0A&E为正己角用， 三，填空题（共3小烟。每圆5分） rE,RC的中点O,F.则A01BE,平直CDn平面ABB■8E 12.16 1328图 14.-4048 A0⊥平面BCD,OF/CD,OA,OF,OE两两系直： 以0为原点，0A,UF06所在的直线分别为红，y.z鞋。 国，解答海（本题共5小题，共77分，解答成写出文字说明、正明过程或演算步露，） 建立阁闲示的空间坐杯系 15.【芥e】解：1)因为3hsnC-3 ccosB,所以v3m8sC-3 inCcosB. MA(Q,02y3习：B(0-200,C320.D(-32月 又C为△ABC内角.C≠0.所以y3sn8=3ms8, 所以6A=(022v3.4C=(32,-2v3)CD=《-60]. 基格B-不满足V3B一36B,慧有nB=3 没可=（写乃，）是平面AC的一个法向量。 所以何0可2m+23-0 前容e(0,).所以8- 配=03+2别-241=0 令=下所以=4，片=-3，即可=(4-3国 (2)由靠球发程得b3=a2+c2-2 accosB=a十c7-3ac 设而-红，为)是平面ACD的一个法向量。 bm4,e=16,2+e=V0+3=B 所以区·而=0=目 儒以8A8的现长为短+0+c=12, ·花-03+2%-2341-㎡ z=,贴=0，为=3，m=(Q3国， 16【容案】解：设和1的调和中地，依圈意积：3，子1依玫戏等整数列， 设二面角8-c-D的平面角为，所议a一票锅-贸 =型=26= 三面用8-AC一B半直角的余强值为票 2)雅竭或，诞等染数到：段其公差为d, 3-- 所站=+a-a=+n-片=曾 做品 第1月，月2刻 19,【答表】解：(1)由思意限，0F月=C,0周=点F前=VC+=e: h▣√6 a2=b2+c2 叱：浸 期鸭圆G的力程为：号+号=1： (2由阳)得P(-10②)，测直妮F方y=2x+2, 18.【符案1解：(1)顿常分布直方图得：2(002+003+005+0.05+0.15+e+005+Q.04卡00)=1： 又IP引=P可得P在线段OB在直平分线上 解得a=以10， 期w-号 ()由辆幸分布直引闭得 1000名学生中日平均陶读时间在（低10小，(1012引两组内的学生人数之比为0.15：0.1=3：2， 又P在税听+左-1上 看家用分层结样的方法抽取了10人， 解部名一五期P哈， 国从日平均国时鲜在倍1可内的学生中性医×10一6（人）： 直：y-号x 在甘平均阁读时间在(10,12到内的学生中取4人： 观从这10人中阅代拍取3人，倒X的可能取机为0,1,2,3 程女雨线F可商一子 =x+区 w=-是-品-古 =- 心0尝-品 = 列兽-盖品 则0t--马， e--县-高0 5m=5mw+5ww=x反×+x反×号=平 授x的分剂列为： 0 2 3 3 1 放0=0*+1×+2×品+3×元=号 前2月，月2刻