第一章 集合与常用逻辑用语 同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第一章《集合与常用逻辑用语》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 2．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 3．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设全集U，有以下四个关系式：甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：． 如果有且只有一个不成立，则该式是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 10．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 11．已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 13．已知集合，若，则的最小值为 ． 14．设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知全集． (1)求； (2)若且，求的取值范围． 16．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围． 18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 19．集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《集合与常用逻辑用语》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 2．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题； 当，时，成立，但不成立，故命题为假命题； 故命题，，均为假命题，命题为真命题． 故选：B． 3．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合， 或 又，所以或 即或，即 所以的取值范围为 故选：D 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 5．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对条件进行化简，再根据充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】，即为， 是的充分不必要条件， ． 解得， 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件的判定与应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 6．设全集U，有以下四个关系式： 甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：． 如果有且只有一个不成立，则该式是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先将甲、乙、丙、丁的关系转化为集合的包含关系，分析即得解 【详解】由题意，甲：A∩B＝A 乙：A∪B＝B 丙： 丁： 由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙 故选：C 7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解． 【详解】解：因为集合或， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，若，则，解得， 又，则， 则的充要条件为， 所以的必要不充分条件可能是，， 故选：AB． 10．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 11．已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，集合，集合，则A， 若，则实数的取值范围是； 若，则实数的取值范围是， 故选：AD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解. 【详解】记，， 因为p是q的充分条件，所以. 当时，，即，符合题意； 当时，，由可得，所以，即. 综上所述，实数的k的取值范围是． 故答案为：． 13．已知集合，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 14．设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 【答案】 【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论. 【详解】因为，而，故， 所以， 若，则或（舍），此时， 故中的所有元素之积为. 若，则，这与或， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则或（舍），此时， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则，则， 即，无解. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知全集． (1)求； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出集合，再求即可， （2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以或， 因为， 所以或 （2）因为 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以，或，解得， 综上，的取值范围为 16．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得． 由实数的取值范围为． 17．已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可． 【详解】（1）解：命题的否命题为，为真， 且， 解得． ∴． （2）解：由解得 ， 若“”是“”的必要不充分条件， 则， ∴当时，即， 解得； 当时，， 解得， 综上：或． 18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 19．集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$