第二章第09讲 解题技巧专题：与二次根式运算有关的综合问题(7类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第09讲 解题技巧专题：与二次根式运算有关的综合问题 (7类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 1 【考点二 二次根式的混合运算问题】 4 【考点三 含二次根式的整体代入求值】 9 【考点四 二次根式的分母有理化】 11 【考点五 复合二次根式的化简】 18 【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】 26 【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】 32 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 例题：（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若的两边a，b满足，则它的第三边c为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·单元测试）若，则 ． 3．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【考点二 二次根式的混合运算问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）计算题： (1) (2) 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）化简： (1) (2) 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 4．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点三 含二次根式的整体代入求值】 例题：（2023八年级下·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值是 ； 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 3.（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 4．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 5．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值． 【考点四 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 2．（23-24八年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面计算过程： ； ； ； 请解决下列问题： (1)化简：； (2)根据上面的规律，请直接写出______； (3)利用上面的解法，请计算：． 【考点五 复合二次根式的化简】 例题：（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是__________，__________． (2)根据上面的思路，化简：． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______． (2)化简：（请写出计算过程） (3) 3．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 4．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵，且，，∵，． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 解题技巧专题：与二次根式运算有关的综合问题 (7类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 1 【考点二 二次根式的混合运算问题】 4 【考点三 含二次根式的整体代入求值】 9 【考点四 二次根式的分母有理化】 11 【考点五 复合二次根式的化简】 18 【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】 26 【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】 32 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 例题：（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若的两边a，b满足，则它的第三边c为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查非负性，勾股定理，根据非负性求出的值，分两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当为直角边时：； 当为斜边时：； 故答案为：5或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 2．（23-24七年级下·湖南长沙·单元测试）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，代入所求代数式求值即可得到结论． 【详解】解：， 即， ，解得， 将代入得， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 【答案】2027 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得，，， ． 6．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理： （1）根据算术平方根的性质可得，从而得到，即可求解； （2）分两种情况：若第三边为斜边，若为斜边，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若第三边为斜边，第三边的长为； 若为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． 【考点二 二次根式的混合运算问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘除法则进行计算，再合并解题即可； （2）先利用完全平方公式计算和二次根式的除法计算，然后合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式、分母有理化计算，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（1）先化简二次根式及零次幂，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式及零次幂，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则及完全平方公式的运用是关键． （1）先化成最简二次根式、绝对值、零次幂，再合并同类二次根式，最后合并即可； （2）按照运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先化简二次根式，再计算除法和减法即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法即可； （3）先计算乘法，再计算加减法即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减法即可； 熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）按照二次根式乘法法则计算即可； （2）先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）先计算零指数幂，负指数幂，然后化为最简二次根式计算即可； （4）二次根式和平方差公式及其完全平方公式结合，按照运算法则计算即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点三 含二次根式的整体代入求值】 例题：（2023八年级下·江苏·专题练习）已知，，则代数式的值是 ； 【答案】 【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 3.（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键． 【考点四 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【答案】(1)①；②2 (2)22 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题中所给方法可进行求解； ②根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：（1）①； ② ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2） ． （3） ． 2．（23-24八年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质． （1）根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案； （2）利用平方差公式对分母进行分母有理化，即可解答； （3）利用平方差公式对分母进行分母有理化，再合并计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故填：，； （2） （3） 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化； （1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）①； ②； （2）原式； （3）∵ ∴原式． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 【答案】(1)2 (2)9 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案； （2）依次把每一项分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解： （2） 5．（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面计算过程： ； ； ； 请解决下列问题： (1)化简：； (2)根据上面的规律，请直接写出______； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化．二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化进行求解作答即可． （2）总结规律，即可作答． （3）运用（2）的结论，代入化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解： ． 【考点五 复合二次根式的化简】 例题：（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是__________，__________． (2)根据上面的思路，化简：． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． 【答案】(1)完全平方公式； (2) (3)或 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． 【详解】（1）解：的根据是完全平方公式； ∵， ∴，． 故答案为：完全平方公式；． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______． (2)化简：（请写出计算过程） (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）； 故答案为： ； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消． 3．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 4．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵，且，，∵，． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）解：∵且， ， ， 故答案为：； ∵且， ， ， 故答案为：； （2）解：∵且， ， ， ； （3）解： ， ，， 【考点六 二次根式运算中的新定义型问题】 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 【答案】(1)； (2)2； 【分析】本题考查新运算及根式的混合运算： （1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； （2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ，， ∴． 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 【考点七 二次根式运算中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据题目提供的规律写出答案即可； （2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可． 【详解】（1）根据题意： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； 则第⑤个等式： 故答案为： （2） 故答案为： 证明如下： 左边 ∵n为大于或等于1的整数， ∴ ∴左边右边. 成立. 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析；（n为大于1的自然数） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可； ②利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得； 故答案为：； （2）解：①由前面式子得出：； 故答案为：； ②证明：等式左边右边，为大于1的自然数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$