第二章第08讲 易错易混淆集训：实数(4类热点易错题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第08讲 易错易混淆集训：实数(4类热点易错题型讲练) 目录 【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 1 【易错二 易混淆a与的平方根】 5 【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 7 【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 9 【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数，，，中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可；熟知无理数的常见形式是关键． 【详解】解：根据无理数的定义可知：，，是无理数； 故选：． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列6个实数、3中，无理数出现的频数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了频数的定义，正确确定无理数是解题关键． 根据无理数的定义得到个数，进而得出频数． 【详解】解：， ∴无理数有共3个，故频数为3， 故选：B． 2．（23-24七年级下·云南昭通·期末）在下列数中，无理数的个数（ ） π，，，，3.1415，，5.1717717771… A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：∵，是有理数， ∴在π，，，，3.1415，，5.1717717771…中，π，，，5.1717717771…是无理数，共4个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的判断．熟记相关定义是解题的关键； 无理数，也称为无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如：，相连两个3之间的0个数逐渐增加一个），由此即可求解． 【详解】解：， 故在实数、±、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加）中， 无理数有3π、、0.303000300003…（相邻两个之间的个数逐次增加），共个． 故选：C． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）在实数0，，，，1.020020002，，中，无理数有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．解题的关键是明确初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【详解】解：，，，是无限不循环小数，它们是无理数，共4个； 0是整数，是分数，1.02002002是有限小数，它们不是无理数； 故答案为：4． 5．（23-24七年级下·北京丰台·期中）下列各数3.14，，1.212212221…，，，，中，无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可，关键在于了解无理数即为无限不循环小数． 【详解】∵各数3.14，，，，，，中，无理数有，，， ∴无理数的个数是3个． 故答案为：3． 6．（23-24七年级下·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                ） (2)分数集合：（                ） (3)无理数集合：（                ） 【答案】(1)③④⑥ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数， 整数集合： ③④⑥ 故答案为：  ③④⑥ （2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数． 分数集合： ①⑨⑩ 故答案为： ①⑨⑩ （3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合 故答案为： ②⑤⑦⑧ 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 【易错二 易混淆a与的平方根】 例题：（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）的值等于 ；的算术平方根为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查算术平方根，利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的算术平方根为3； 故答案为，3． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列说法错误的是（    ） A．没有算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是它本身 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、没有算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、的平方根是，原说法错误，符合题意； C、0的平方根是它本身，原说法正确，不符合题意； D、，原说法正确，不符合题意； 故选B． 2．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 【答案】 3 【分析】此题考查了平方根和算术平方根的计算，根据平方根和算术平方根的概念求解即可． 【详解】的平方根是； 的算术平方根是3； 3的算术平方根是． 故答案为：；3；． 3．（2024七年级下·上海·专题练习）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：，其算术平方根为； ，其平方根是； 故答案为：；． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 【答案】 【分析】此题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行准确计算即可． 【详解】解：①， ②， ③∵ ∴的平方根的平方根， 故答案为：，， 5．（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，，先计算出得数，再根据算术平方根的定义求解；先计算，再根据平方根的定义可直接求解． 【详解】解： 3的算式平方根为； ，的平方根为． 故答案为：，． 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 . 【答案】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握定义即可解题，解题时注意先化简再解，避免出现失误． 【详解】解：，的平方根为， ，的算术平方根为， 故答案为：，． 【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的整数a的值为 ． 【答案】3（答案不唯一，满足且为整数即可） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数即可解答． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， ∴， ∴符合条件的整数a的值可为3． 故答案为：3 【变式训练】 1．（2023·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义得：， 解得：． 故答案为：． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 4．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在代数式中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， 故． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴ ∴ 故答案为： 7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，代入所求代数式求值即可得到结论． 【详解】解：， 即， ，解得， 将代入得， ， 故答案为：． 【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例题：（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握．根据二次根式的性质得，然后再化简即可． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）若，，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）已知且，化简二次根式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数与数轴；观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ 故答案为： 6．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，推出，再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·重庆江津·期中）（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，实数的运算等知识，解题的关键是： （1）利用夹逼法得出，利用数轴上a、b的位置可得出，，则 ，，然后利用绝对值的意义、二次根式的性质等化简即可； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶（1）∵， ∴，即， 由数轴知：，， ∴，，， ∴原式 ； （2）∵， ∴，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∵， ∴，即， ∴的整数部分为， ∴． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系： （1）要使有意义，其被开方数应大于或等于0，求出的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案． 【详解】（1）解：隐含条件为，得， ∴． ∴原式； （2）解：∵a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∴ ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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2．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ；3的算术平方根是 3．（2024七年级下·上海·专题练习）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 5．（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 . 【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的整数a的值为 ． 【变式训练】 1．（2023·云南昆明·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 4．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在代数式中，的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 6．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例题：（23-24八年级下·广西钦州·期末）已知，，化简： ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川南充·期末）若，，则化简的结果是 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）已知且，化简二次根式的结果是 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 4．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 6．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．    7．（22-23七年级下·重庆江津·期中）（1）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$