第二章第07讲 二次根式的加减法（3考点+10题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第07讲 二次根式的加减法 课程标准 学习目标 ①同类（最简）二次根式的定义 ②掌握二次根式的加减法法则 1．理解同类二次根式的定义； 2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法； 3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算； 4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。 知识点01 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即学即练2】 1．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算： (1) (2) 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练3】 1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型01 同类二次根式的判断 【典例1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型02 已知同类二次根式求参数 【典例2】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【变式2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 题型03 二次根式的加减运算 【典例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算 【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型04 二次根式的混合运算 【典例4】（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）计算： (1)； (2)． 【变式2】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简． (1)； (2) (3) (4) 【变式3】（23-24八年级下·山东日照·期末）计算： (1) (2) 题型05 比较二次根式的大小 【典例5】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【变式3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型06 分母有理化 【典例6】（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【变式1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【变式3】（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 题型07 已知字母的值，化简求值 【典例7】（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式2】（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【变式3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知求下列各式的值： (1)和； (2) 题型08 已知条件式，化简求值 【典例8】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【变式3】（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 题型09 二次根式的应用 【典例9】（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【变式2】（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 题型10 二次根式中的新定义型问题 【典例10】（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【变式3】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 二、填空题 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 8．（23-24八年级下·重庆江津·期中）若最简二次根式和可以合并，则 ． 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为 ． 10．（23-24七年级下·重庆·期末）若，，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 12．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题 (1) (2) 13．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 15．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________和________； (2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 16．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 17．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)比较大小_____用“”、“”或“”填空； (2)已知，，求的值； (3)计算： 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次根式的加减法 课程标准 学习目标 ①同类（最简）二次根式的定义 ②掌握二次根式的加减法法则 1．理解同类二次根式的定义； 2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法； 3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算； 4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。 知识点01 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式即为同类二次根式． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意； B、，化简后不是根式，故不符合题意； C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意； D、，符合同类二次根式的定义，与是同类二次根式，故符合题意． 故选D． 知识点02 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即学即练2】 1．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算， （1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练3】 1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）先把分子化简、合并，再算除法和乘法； （2）根据混合运算的顺序计算即可． 【详解】（1） （2） 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3)14 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法； （3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型01 同类二次根式的判断 【典例1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是正确化简二次根式．先进行化简，然后根据同类二次根式的定义，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二次根式的被开方数相同．将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判断出答案． 【详解】解：A．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．，即和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．，，即和是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 题型02 已知同类二次根式求参数 【典例2】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得，解方程即可求解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式与 可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：． 题型03 二次根式的加减运算 【典例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简各二次根式，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先将各个二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 二次根式的混合运算 【典例4】（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)10 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简二次根式，同类二次根式及合并法则是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可， （2）先计算二次根式的乘法、化简绝对值和立方根，然后再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用平方差公式进行计算即可求解； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 【变式3】（23-24八年级下·山东日照·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先利用幂的乘方及积的乘方逆用法则计算，零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算立方根，分母有理化，负整数幂，化简绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型05 比较二次根式的大小 【典例5】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型06 分母有理化 【典例6】（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据阅读材料提供的方法即可完成； （2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴， 【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 【变式3】（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 题型07 已知字母的值，化简求值 【典例7】（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知求下列各式的值： (1)和； (2) 【答案】(1)6；2 (2)34 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）将、的值直接代入求值即可； （2）将、的值代入，计算即可． 【详解】（1） （2） 题型08 已知条件式，化简求值 【典例8】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 【变式3】（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：且， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 题型09 二次根式的应用 【典例9】（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，把，，的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将三边直接代入公式可得. 【变式1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可． 【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为： ， 设圆柱形玻璃容器的底面半径为r， 根据题意得， 解得． 答：圆柱形玻璃容器的底面半径为． 【变式2】（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【变式3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用； （1）由数轴上的两点距离得，可得，求出代入计算即可求解； （2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解； 能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：根据题意得 阴影部分的长为 （） 宽为，                               ∴阴影部分的面积为 （）． 题型10 二次根式中的新定义型问题 【典例10】（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键． （1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴且， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的定义，把对应选项的二次根式化为最简二次根式后被开方数为3的二次根式能与合并，据此求解即可． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、能与合并，不符合题意； C、不能与合并，符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的减法法则、平方差公式、积的算术平方根、二次根式的除法进行计算，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项中计算错误，不符合题意；     B. ，故选项中计算正确，符合题意；     C. ，故选项中计算错误，不符合题意； D. ，故选项中计算错误，不符合题意； 故选：B 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：． 5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较与1的大小即可求解； （3），，比较被开方数的大小即可； 【详解】解：①， ； 故答案为： ； ②； ； 故答案为： ； ③，，且； ； 故答案为： ； 8．（23-24八年级下·重庆江津·期中）若最简二次根式和可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义理解，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式和可以合并，得出和是同类二次根式，则，求解得出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：程序所代表的代数式为，再由x为的小数部分，可得到，代入即可求解．本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为是解题的关键． 【详解】解：程序所代表的代数式为， ∵x为的小数部分， ∴， 当时， 输出的值为． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·重庆·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形求值，根据完全平方公式的变形得出，再把已知代入求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用立方根的定义、二次根式的运算法则分别计算，再合并即可求解； （）利用二次根式的性质、完全平方公式及绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， ． 13．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法； （3）根据二次根式乘法和平方差公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． 【详解】（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ． 15．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）我们规定用表示-对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”，例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________和________； (2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求x的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 【答案】(1)；. (2) (3)9或 【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入，即可； （2）由题，，数对的一对“对称数对”的一个数对是和，可得，即可得出x的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴数对的一对“对称数对”是和． （2）解：∵数对的一对“对称数对”是和， ∴， ∴. （3）解：∵数对的一对“对称数对”是和， ∴或 ∴或 ∴或. 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键． 16．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 17．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)比较大小_____用“”、“”或“”填空； (2)已知，，求的值； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解； （2）先求得的值，然后代入即可求解； （3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）， ∵ ∴, ∴， 故答案为：． （2）， ， ， ， ， ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，无理数的大小比较，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1)；见解析； (2)． 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； 过点作于点，利用勾股定理即可求解； （）连接，由勾股定理得，最后由即可求解； 本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； 如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）连接，如图，    ∵，，， ∴， 在 中，， ∴， ∴该四边形的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$