第二章第07讲 有理数的乘方（3考点+7题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第07讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的定义及运算 ②科学记数法的定义 1．理解有理数乘方定义及运算； 2．进一步掌握有理数的五则混合运算； 3．掌握科学记数法，了解近似数；能运用科学记数法表示较大的数。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练1】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练2】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练3】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）年春节，嘉兴文旅市场大放异彩！据统计，我市假日期间共接待游客万人次，实现旅游收入亿元，较年分别增长和．则数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】（23-24七年级上·福建厦门·期中）下列对于式子的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）关于说法正确的是（    ） A．结果是 B．底数是4，指数是 C．可以表示为 D．底数是，指数是4 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）下列对于，叙述正确的是（   ） A．底数是、指数是4 B．表示4个3相乘的积的相反数 C．表示4个相乘的积 D．表示4与的积 【变式3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 题型02 有理数的乘方运算 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题，并说说它们的区别． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型03 有理数的乘方运算的符号规律 【典例3】（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型04 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例4】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）某公司去年的营业额约为407000 元，则此营业额用科学记数法可表示为 元． 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）据悉，截至2023年，我国累计建成并开通的5G基站总数将超过290万个．数据“290万”用科学记数法表示为 ． 【变式2】（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）二十大报告中，一组组亮眼的数字，吸引无数目光，折射出新时代十年的非凡成就．其中，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元．请你把114万用科学记数法表示为 ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）《2023年政府工作报告》中指出：我国有2.8亿在校学生，要坚持把教育这个关乎千家万户和中华民族未来的大事办好．将2.8亿用科学记数法表示应为 ． 题型05 用科学记数法表示的数变回原数 【典例5】（2024·陕西渭南·二模）用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿元”为单位的原数是 亿元． 题型06 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例6】（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义一种新运算▽：对任意有理数a、b都有，如，则 ． 【变式1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）若定义有理数x，y有，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）定义一种新运算：，如．则 ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）定义运算：，则 ． 题型07 有理数的乘方的应用 【典例7】（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D．6 2．（2024·河南商丘·模拟预测）据国家统计局发布数据显示，2023年末全国人口（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）60岁及以上人口29697万人，占全国人口的．数据“29697万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）在，，，，，中，负数的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 7．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 8．（2023·湖南怀化·模拟预测）下列数：，，，，0，，其中非负数有 个． 9．（23-24七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）定义一种新的运算：，如：，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期中）将有理数，，，用“”连接起来． 13．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并用“>”号把这些数连接起来． ，0，，， 14．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 16．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）阅读与运用： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于０）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个a（）相除记作，读作“a的n次商”． (1)初步探究：直接写出结果： ； ； (2)理解概念：关于除方，下列说法错误的是 ； A．       B.负数的2次商都等于 C．              D．，其中π为正整数 (3)探究应用 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：    ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ； ②想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ； ③算一算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的定义及运算 ②科学记数法的定义 1．理解有理数乘方定义及运算； 2．进一步掌握有理数的五则混合运算； 3．掌握科学记数法，了解近似数；能运用科学记数法表示较大的数。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练1】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练2】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练3】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）年春节，嘉兴文旅市场大放异彩！据统计，我市假日期间共接待游客万人次，实现旅游收入亿元，较年分别增长和．则数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选A． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】（23-24七年级上·福建厦门·期中）下列对于式子的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】根据乘方的定义解答即可． 【详解】A．指数是2，正确； B．底数是，正确； C．幂为9，故错误； D．表示2个相乘，正确； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数． 【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）关于说法正确的是（    ） A．结果是 B．底数是4，指数是 C．可以表示为 D．底数是，指数是4 【答案】D 【分析】根据乘方的运算法则，幂的有关定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； 底数是，指数是4， 故B不正确，不符合题意；D正确，符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算在，幂的有关定义，解题的关键是掌握表示n个a相乘，a为底数，n为指数． 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）下列对于，叙述正确的是（   ） A．底数是、指数是4 B．表示4个3相乘的积的相反数 C．表示4个相乘的积 D．表示4与的积 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的含义判断即可． 【详解】表示4个3相乘的积的相反数， 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方的定义以及相关概念，解答此题的关键是要明确：乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数． 【变式3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 题型02 有理数的乘方运算 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题，并说说它们的区别． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘方运算． （1）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （2）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （3）根据有理数的乘方运算法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本师考查有理数的乘方，有理数比较大小，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 根据有理数乘方法则计算，并比较大小即可求解． 【详解】解：A、∵，，∴，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，故此选项符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可； （）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可； 本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型03 有理数的乘方运算的符号规律 【典例3】（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 题型04 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例4】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）某公司去年的营业额约为407000 元，则此营业额用科学记数法可表示为 元． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解： 故答案为： 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）据悉，截至2023年，我国累计建成并开通的5G基站总数将超过290万个．数据“290万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：290万． 故答案为： 【变式2】（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）二十大报告中，一组组亮眼的数字，吸引无数目光，折射出新时代十年的非凡成就．其中，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元．请你把114万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）《2023年政府工作报告》中指出：我国有2.8亿在校学生，要坚持把教育这个关乎千家万户和中华民族未来的大事办好．将2.8亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】将2.8亿用科学记数法表示应为． 故答案为：． 题型05 用科学记数法表示的数变回原数 【典例5】（2024·陕西渭南·二模）用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 【答案】1500 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数．科学记数法指把一个数写成（其中，为整数）的形式． 【详解】解：． 故答案为：1500． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【答案】1260000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数恢复为原数，根据科学记数法中n值的确定方法，将恢复原数后应该是一个七位数的整数，即可得出答案． 【详解】解：亿元的原数约为1260000亿元． 故答案为：1260000． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．科学记数法的表示形式为的形式中，原数的整数位数等于．原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数，若向右移动，位数不够则用0补上．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿元”为单位的原数是 亿元． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将元还原成以“亿元”为单位的原数是亿元， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 题型06 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例6】（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义一种新运算▽：对任意有理数a、b都有，如，则 ． 【答案】2019 【分析】本题考查了有理数的乘方以及有理数的减法运算，正确理解新定义运算法则是解题关键．先计算括号内，再计算括号外即可． 【详解】解：， 则原式， 故答案为：2019． 【变式1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）若定义有理数x，y有，则 ． 【答案】 【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）定义一种新运算：，如．则 ． 【答案】 【分析】根据可求的值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为 【点睛】本题考查新定义及有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）定义运算：，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键． 题型07 有理数的乘方的应用 【典例7】（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 【详解】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ， ， 小时分， ， 故选：B 【变式3】（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘方法则．按照有理数的乘方法则，先算括号里面的，再算括号外面的即可． 【详解】解： ， 故选：B 2．（2024·河南商丘·模拟预测）据国家统计局发布数据显示，2023年末全国人口（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）60岁及以上人口29697万人，占全国人口的．数据“29697万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】“29697万”用科学记数法可表示为， 故选C． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：， ∴；故选项A不符合题意； ， ∴与不相等，故选项B不符合题意； ， ∴与不相等，故选项C不符合题意； ， ∴与相等，故选项D符合题意； 故选D． 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）在，，，，，中，负数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握负数的定义，需要注意并不是有负号的数就一定是负数．先把需要化简或者计算的数算出来，再根据负数的定义去判断． 【详解】解：是正数， 是负数， 是正数， 0既不是正数也不是负数， 是负数， 是负数， ∴一共有3个负数． 故选：B． 5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的应用，数字规律探索，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式．由题意可知的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．则，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的． ∴， 故的末位数字是2， 故选：A． 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方的意义的关键．根据有理数的乘方法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，4，． 7．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法数字还原，根据指数是几，小数点向右移即为求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 8．（2023·湖南怀化·模拟预测）下列数：，，，，0，，其中非负数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值定义，非负数的定义，解题的关键是掌握这些定义．据有理数的乘方，绝对值定义，计算后判断． 【详解】解：，，，，， 其中非负数有，0，，共计3个． 故答案为：3． 9．（23-24七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，有理数的乘方，正确得出，的值是解题关键． 直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则的值是：． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）定义一种新的运算：，如：，则 ． 【答案】36 【分析】题目主要考查新定义运算，理解新定义运算，然后代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：36． 三、解答题 11．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；；；；． (2)；；． 【分析】（1）根据乘方的意义进行计算即可； （2）根据乘方的意义进行计算即可． 【详解】（1）解：；；；；． （2）解； ；；． 【点睛】本题考查了乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期中）将有理数，，，用“”连接起来． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的大小比较，先计算各数，然后比较大小，即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以 13．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并用“>”号把这些数连接起来． ，0，，， 【答案】见详解， 【分析】先在数轴上把各数表示出来，再根据数轴上表示的数右边的总比左边的大，用大于号依次将各数连接起来．此题主要考查有理数大小的比较、有理数的绝对值、有理数的乘方、有理数的相反数等知识，属于易错题． 【详解】解：依题意， 如图所示， ∴． 14．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 15．（23-24七年级上·全国·课堂例题）求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）阅读与运用： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于０）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个a（）相除记作，读作“a的n次商”． (1)初步探究：直接写出结果： ； ； (2)理解概念：关于除方，下列说法错误的是 ； A．       B.负数的2次商都等于 C．              D．，其中π为正整数 (3)探究应用 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：    ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ； ②想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ； ③算一算： 【答案】(1) (2)BCD (3)①，；②；③7 【分析】（1）根据题意，直接求解即可； （2）根据定义，逐项判断即可； （3）①根据定义进行仿写即可；②根据定义进行作答即可；③根据定义进行计算即可 【详解】（1）由题意得，；； 故答案为：； （2）A.，该选项正确，不符合题意； B.负数的2次商都等于，该选项错误，符合题意； C．，该选项错误，符合题意； D.当n为奇数时，，当n为偶数时，该选项错误，符合题意； 故选：BCD； （3）①；， 故答案为：，； ②将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于， 故答案为：； ③原式 ． 【点睛】本题考查了新定义运算，涉及有理数的除法运算和乘方运算，准确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$