第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版2020第1-2章） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版2020第1-2章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 3．（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 6．（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 7．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 8．（24-25高一上·上海·课前预习）描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的 ，即 ．这种表示集合的方法叫做描述法． 9．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 12．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 15．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 21．（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版2020第1-2章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 【答案】 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】通过解方程组求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 解得或， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 【答案】 【分析】根据题意分别令，再由子集的定义求解即可. 【详解】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，即时等号成立． 故答案为： 6．（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 【答案】 【分析】由补集与交集运算可得. 【详解】由全集，， 则，又， 则. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【分析】需要理解子集，真子集，集合相等的概念，例如要理解如果，不一定能得出，也存在． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 8．（24-25高一上·上海·课前预习）描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的 ，即 ．这种表示集合的方法叫做描述法． 【答案】 共同特征 满足性质 【分析】用描述法概念填空即可. 【详解】在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即满足性质．这种表示集合的方法叫做描述法． 9．（24-25高一上·上海·单元测试）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出常数b，c，再解一元二次不等式即可. 【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：，. 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【分析】（1）列举集合的元素，再求解并集； （2）（3）根据集合的特征，结合并集的定义，即可求解. 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 12．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解. 【详解】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用绝对值的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 【答案】D 【分析】举反例可判断A；根据集合的定义可判断B；根据集合的性质可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，不能用列举法表示，故A错误； 对于B，集合表示含有元素的集合，不是空集，故B错误； 对于C，集合表示上的点构成的集合， 表示的实数构成的集合，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 15．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用基本不等式证得，从而推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当时，，此时，即充分性成立； 当时，取，此时，即必要性不成立； 综上，“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式解法求解即可． 【详解】（1），解得或， 所以不等式的解集为． （2），解得或， 所以不等式的解集为． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】分类讨论与两种情况，利用集合包含关系得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【分析】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上，. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【分析】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系； （2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系； （3）根据数的性质即可判断出与的关系； （4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案； （5）根据交集含义即可判断出与的关系. 【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 21．（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 【答案】(1)证明见解析 (2)错误，改正见详解 【分析】（1）根据结合绝对值不等式分析证明； （2）根据基本不等式的条件分析判断，根据“1”的灵活运算结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，，且， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. （2）因为， 则，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 两者等号成立条件不一致，所以解析错误， 正解： 因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$