第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版第10-11章）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第10-11章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 2．一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 3．下列各对单项式中不是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 4．长方形的周长为2L，长为a，则宽为（    ） A．2L-2a B．L-2a C．L-a D．2L-4a 5．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 6．下列各题中，可以用平方差公式计算的有（　　） A． B． C． D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．计算： ． 8．计算： ． 9． ． 10．如果，化简： ． 11．已知，，则 ． 12．化简： ． 13．计算： ． 14．一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 15．若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 16．如果（其中a为常数）成立，那么 ． 17．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．用乘法公式计算：． 20．计算：． 21．计算： 22．找出下列代数式中的一次式： 、、． 23．甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 24．若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 25．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第10-11章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：． 2．一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C 3．下列各对单项式中不是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】直接利用同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，进而分析得出答案． 【详解】解：A．与是同类项，故A不符合题意； B．与是同类项，故B不符合题意； C．与不是同类项，故C符合题意； D．与是同类项，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同；是易混点．同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 4．长方形的周长为2L，长为a，则宽为（    ） A．2L-2a B．L-2a C．L-a D．2L-4a 【答案】C 【分析】根据长方形的周长公式C=（a+b）×2，即可求解宽的长度. 【详解】解：设宽为b 2L=（a+b）×2， ∴b= L-a 故选C. 【点睛】本题主要考查了长方形的周长公式的灵活应用． 5．已知是关于x的一次式，则a，b的值分别是（    ） A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项最高次数为1的代数式是一次式． 根据一次式的定义得出，进行解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一次式， ∴， 则， 故选：C． 6．下列各题中，可以用平方差公式计算的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式，观察各个选项中式子的结构特征即可得到答案． 【详解】解：A、，不能用平方差公式运算，不符合题意； B、，不能用平方差公式运算，不符合题意； C、，能用平方差公式运算，符合题意； D、，不能用平方差公式运算，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可得，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查平方差公式．根据平方差公运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9． ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照多项式乘以单项式的运算，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．如果，化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：， ． 故答案为：2 11．已知，，则 ． 【答案】6 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：6． 12．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，运用多项式除以单项式法则运算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 14．一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算．根据题意，由多项式减去的差是可得这个多项式为，去括号、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵多项式减去的差是， ∴这个多项式为 ， 故答案为：． 15．若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 16．如果（其中a为常数）成立，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 解得：； 故答案为． 17．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 【答案】9 【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：原来正方形土地的边长为x米，面积是平方米， 现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米， 平方米， 张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算． 18．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（7小题，共64分） 19．用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】先把原式化为平方差的形式，再利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可． 本题考查的是平方差公式及完全平方公式，熟记以上知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方、单项式乘以单项式，多项式除以单项式法则是解题的关键； 先运算括号内的整式，再根据多项式除以单项式法则计算求解即可； 【详解】解： 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法展开再合并同类项即可． 【详解】解： 22．找出下列代数式中的一次式： 、、． 【答案】、 【分析】本题考查了单项式及多项式的次数，根据单项式及多项式的次数的概念求解即可． 【详解】解：在、、中，一次式有、、 23．甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【答案】(1)经过，两车的距离为 (2)经过，两车的距离是 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出代数式， （1）根据题意列出代数式，并进行计算即可； （2）代入求值即可； 【详解】（1）根据题意，经过后两车的距离为 ． 答：经过，两车的距离为； （2）因为，时， 有． 答：经过，两车的距离是 24．若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积 【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算； (2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：(1)由题意可得： ； (2)由(1)可知,， ， 矩形的面积， 正方形的面积， 矩形的面积=正方形的面积， 则矩形的面积=正方形的面积。 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可. 25．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    【答案】（1）；；证明见解析；（2）；；，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）仿照（2）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【详解】（1）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：等式右边 左边 ； （3）由（2）可得 学科网（北京）股份有限公司 $$