精品解析：河南省驻马店市上蔡县第一初级中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题

2024学年度八年级数学开学考试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分共30分） 1. 下面式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断． 【详解】解：A.左边不是多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故A错误． B.直接利用平方差公式，把多项式化为两个因式的乘积，故B正确． C.左边是两个因式的乘积，不是多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故C错误． D．右边不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D错误． 【点睛】本题的关键是要正确理解因式分解的定义，左边是多项式和的形式，右边是因式积的形式，由和转变成积的形式． 2. 在式子，，，，，中，分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 【详解】解：式子，中，分母不含未知数，不是分式， ，，中，分母含有未知数，是分式，共3个． 故选：B． 3. 若点在第二象限，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特点、解一元一次不等式组等知识，根据坐标轴上点的特点确定的取值范围是解题的关键．在平面直角坐标系中，第一象限：（正，正），第二象限：（负，正），第三象限：（负，负），第四象限：（正，负）．根据点在第二象限，列出关于的不等式组，求解即可求得的取值范围，然后确定符合题意的选项即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得 ， ∴的值可以是0， 即选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4. 在下列各组条件中，能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，在应用判定方法做题时找准对应关系，理解，不能作为全等的判定方法． 【详解】解：A、不是对应角相等，不能判定； B、根据能判定； C、不能根据判定； D、，，都不是对应边，对应角，不能判定； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，平方差公式，积的乘方运算，同底数幂出发运算，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 6. 如图，在中，，，是的平分线，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，利用角平分线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到． 【详解】过点作于，如图， 是的平分线，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 故选：C 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了等腰直角三角形的性质，解题关键是利用勾股定理直接计算边长． 7. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用图象表示函数关系，根据实际情况即可解答． 【详解】∵一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧， ∴当时，；当时，；且， 故选：B． 8. 如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，先求出，再根据，即可得出答案． 【详解】解：根据网格可得：， ∴，即， ∴， 故选：C． 9. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ） A. 68 B. 20 C. 32 D. 47 【答案】A 【解析】 【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE （AAS） ∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 . 故答案是68. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 10. 如图，在中，P、Q分别是上的点，作，垂足分别为点D、E，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由，，，得出是的角平分线，则；证得，得出；由得出，进一步得出，判断出，在和中，缺少全等条件． 【详解】解：，，， 是的角平分线， ，故③正确； 在和中，， ， ，故①正确； ， ， ， ， 故②正确 在和中，缺少全等条件，故④不正确； 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 反比例函数经过这两个点，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，熟知反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，即反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积等于比例系数是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数经过这两个点， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在与中，E在 边上，，，，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 13. 如图，，在内有一点P，，垂直于点M，垂直于点N，且，，连接，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接、，证是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，，则是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， 垂直于，垂直于，且，， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，，， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：6 14. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键． 【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：， 由图可知： 故答案为： 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先分解因式，再分子，分母进行约分即可； （2）先将原式化为，再根据平方差公式，整式混合运算的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 检验： 当时，， 是增根，舍去， 原分式方程无解． 18. 已知△ABC，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】已知等式移项分解因式，根据两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到关系式，即可做出判断． 【详解】已知等式变形得：a2c2﹣b2c2－（a4﹣b4）=0，∴c2（a2﹣b2）-（a2+b2）（a2﹣b2）=0，∴（a+b）（a﹣b）[c2﹣（a2+b2）]=0，可得a﹣b=0或c2﹣（a2+b2）=0，即a=b或c2=a2+b2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 19. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键． （1）由题意设，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）把代入所求函数式中，即可求得自变量的值． 【小问1详解】 解：∵y与成正比例， ∴设， 当时，，则， 即， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：． 20. 已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】（1），证明见解析； （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【小问1详解】 证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 21. 如图，在四边形中，，若平分，求证：． 【答案】证明：在上截取，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质，在上截取，使，连接，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由等量代换可得，继而可得，由于，可证； 【详解】略 22. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 【答案】问题呈现：；．或；数学思考：（1）；（2）；拓展运用： 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:； 故答案为：；； 数学思考： （1），， ， 的值为25； （2）设，， ， ， ， ， 的值为4050； 拓展运用：的面积， 理由：设，， ， ， ， ， 的面积 ． 23. （1）如图，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与重合），以为边作等边，连接．易求______； （2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与重合），以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：线段之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接．，，求的长．（保留根号） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用等式的性质判断出，进而得出，即可得出答案； （2）同（1）的方法判断出，进而得出，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：120； （2）；理由如下： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理得，； （3）∵， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ∵是等腰直角三角形， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，判断出是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度八年级数学开学考试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分共30分） 1. 下面式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 在式子，，，，，中，分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 若点在第二象限，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 在下列各组条件中，能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的平分线，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 9. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ） A. 68 B. 20 C. 32 D. 47 10. 如图，在中，P、Q分别是上的点，作，垂足分别为点D、E，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 反比例函数经过这两个点，则b的值为________． 12. 如图，在与中，E在 边上，，，，若，则______． 13. 如图，，在内有一点P，，垂直于点M，垂直于点N，且，，连接，，则________． 14. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则______． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2） 17. 解分式方程：． 18. 已知△ABC，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足，试判断三角形的形状． 19. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的值． 20. 已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 21. 如图，在四边形中，，若平分，求证：． 22. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 23. （1）如图，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与重合），以为边作等边，连接．易求______； （2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与重合），以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：线段之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接．，，求的长．（保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $