精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高二上学期暑假月考（开学）数学试题

连城一中2024-2025学年高二年级暑假月考数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列满足，，则该等差数列的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5 3. 在等比数列中，若，则公比为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 2或 4. 某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元.他们第1天只收到了20元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了（ ） A. 20天 B. 25天 C. 30天 D. 35天 5. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为严格递增数列 D. 数列为严格递增数列 6. 已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（ ） A. 10 B. 50 C. 60 D. 70 7. 已知按规律排列的数列，则该数列的第171项为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. 71 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 是递增数列 10. 点在函数的图象上，当，则可能等于（ ） A. -1 B. C. D. 0 11. 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的数量为，解开n连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，则直线的倾斜角为_________. 13. 等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为______． 14. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论： ①；②；③为等差数列；④. 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，点在线段上. （1）求直线的斜率； （2）求的最大值. 16. 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知数列各项均为正数，且，． （1）设 ，求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前项和对于任意恒成立 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，，求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 19. 设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 （1）求出 （2）写出与之间的递推关系式 （3）求出数列的通项公式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 连城一中2024-2025学年高二年级暑假月考数学试卷 满分150分考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.等差数列a}满足4，+4=12,4=5 ,则该等差数列的公差d=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的下标和性质结合4=5 进而得到=7 ,即可求解 【详解】因为4=5,4+a,=4,+a,=12 所以%=7 故d=7-5=2 故选：B 2.设等差数列a,}的前n项和为S。,若4=-3,8=-10，使S最小的”的值为() A.4 B.5 C.6 D.4或5 【答案】D 【解析】 【分析】将，心分别代入等差数列的通项公式和前”项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通 项公式分析出数列得变化规律，得出S在n=4或n=5时取最小值。 【详解】设公差为1，由4=-3，，=-10 第1页/共19页 学科网组卷网 a+d=-3 4=-4 所以 5a+10d=-10,解得1d=1,所以a,=n-5, 令0，≥ ,解得n≥5，则数列{a,}单调递增，且4，=0 所以当”=4或n=5时八取得最小值 故选：D 3.在等比数列a}中，若a+a,=2(a+a) 则公比为() A.1 B.-2 C.2 D.2或-2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列定义得4，+a,=(4+a)9,结合己知即可得解 【详解】设等比数列a}的公比为9， 因为4+a,=(a+a)9=2(a+4),a+a,=a1+g2）≠0 所以92 故选：C 4.某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到了5000元他们第1天只收到了20元， 从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，这次募捐活动一共进行了() A.20天 B.25天 C.30天 D.35天 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每一天收到的捐款成等差数列，首项为20，公差为15， 皮这次察捐活动一共进行了天则20咖+” 2×15=500 2 0,得n=25(负值舍去) 故选：B 第2页/共19页 6学科网列组卷网 5.已知数列{a,}为等比数列，首项4>0，公比9∈(-，0)，则下列叙述不正确的是（) A数列{a,}的最大项为4 B数列a,}的最小项为4 C.数列a,a+}为严格递增数列 D.数列{a1+a}为严格递增数列 【答案】D 【解析】 【分析】分别在n为偶数和”为奇数的情况下，根据项的正负和+2一0的正负得到最大项和最小项，知 AB正误：利用4a2a,1=gg-4>0和(a1+a2)-(aa+a)<0可知CD正误 【详解】对于A,由愿意知：当n为偶数时，a,<0<4, 当n为奇数时，a,>0,02-0.=0,(g-小<0,4最大 综上所述：数列a,}的最大项为4，A正确： 对于B,当n为偶数时，a,<0,a2-0,=a.(g->0,4最小 当”为奇数时， an>0>a 综上所述：数列a,}的最小项为4，B正确： 对于C,a,a1=ai9,a4a2=dg i.amam2-a,am=q(amu-az)=q(q2-1)az -1<q<0.q2-1<0∴a4an42-ana1>0 ∴数列a,a}为递增数列，C正确： 对于D,aa+am=4m（l+q）.al+a2=aan(1+g） 第3页/共19页 命学科网命组卷网 (an1+a2）-(an+an）=(（1+9j(a1-a）=(1+9)q-4; -1<g<0,1+g>0,g-1<0,又am1>0, (aa1+am2)一(4+a)<0,数列a+a}为递减数列，D错误 故选：D 6已知{a,}为等差数列，前u项和为S,4=10,公差d=-2,则数列a,}的前10项和为《） A.10 B.50 C.60 D.70 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式计算即可 【详解】由题意可知4+d(n-)=12-2n=a, 所以a}单调建减，且有4=08-0+12-2如加=n- 2 记数列{a}的前10项和为T, 故0=(a+4++a)+(-4,-a,-ao)=-So+2S,=50 故选：B ,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,,n 7.已知按规律排列的数列 ,则该数列的第171项为() A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】A 【解析】 S=n(n+1) 【分析】根据题设规律知：数字n-1有n个，n∈W且截至n-1共有2项，令S=171求n值， 即可知数列第171项对应的数字 【详解】由规律知：0、1、2、3、…分别有1、2、3、4、…个， 第4页/共19页 命学科网命组卷网 S=n(n+1) ∴数字n-1有n个，n∈N,故截至n-1共有2项 6二ntT+n342:0,强m18成n7g险去 2 ∴.数列的第171项为n-1=17. 故选：A 8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题， 叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 2Sn+80 {an},记数列{a}的前n项和为S,则n的最小值为（) 218 A.20W3+1 B.40W3+1 C.71 D.83 【答案】C 【解析】 【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得S, 2Sn+80 再根据对勾函数的性质求得n的最小值. 【详解】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15 的等差数列{a,} 则=8m+nn-) 72之×15=152士2 2 2 第5页/共19页 6学科网列组卷网 15 1 .2Sn+80 2 n2+n+80 (22 80 =15n+0+1, n n 因为函数f()=15x+80 v3 +1在0 4V3 3上单调递减，在 3,+ao 上单调递增， ×f0)=15x2++1=71f6)=15x3+0+ 218 +1= 2 3 3, 2Sn+80 ∴，当n=2时n取最小值为71. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{a}的前n项和，=r+3,则() A.93=3 B.an =2n-1 c{an}是等差数列 D.{a}是递增数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由4，=S,-9即可判断A,由4S的关系即可判断B,{a}从第2项开始为等差数列，由此即 可判断C由4=4>4，=3 可判断D 【详解】4=8，-S=3 ,故A正确； 当n≥2时，a.=S。-Sm1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1 当n=1时，4=S=4,不适合上式，故B情误， 第6页/共19页 6学科网命组卷网 《a,}从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确： 因为4=4>4=3 ,故D错误 故选：AC 当+1 10.点M(x)在函数y=e的图象上，当x∈[0，)，则x-1可能等于() A.-1 B.-2 93 D.0 【答案】BC 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义为y=e在x∈0，)部分图象上的动点M(,少）与点4，-)所成直线 的斜率k,即可求范围 当+1 【详解】由x-1表示M(x,乃)与点A(L,-1)所成直线的斜率k, 又M(x,)是y=e在x∈[0，)部分图象上的动点，图象如下： A(1,-1) 如上图， B1,e)mk∈(-o,-2 ,则 ,只有B、C满足 故选：BC 11.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。《红楼梦》 中有林黛玉巧解九连环的记载.九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各 第7页/共19页 6学科网列组卷网 式框架上，并贯以环柄.玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的 数量为m(n≤9，m∈N),解开n连环所需总步数为S,解下每个环的步数为4，数列a,}满是：S=1, S,=2.a,=2S2+l(n23),则() A.0,-5 B.S4=as C.S6=42 D.{,+S}成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意逐一计算0，与的前6项，从而判断ABC,利用0，=8。-S,结合等比数列的定义 判断D,从而得解. 【详解】因为S=1,S2=2.an=2Sm2+1(n≥3) 所以4=2+1=3，S=5.0,=2S+1=5,8=10 a,=2S3+1=11,S,=21a6=2S4+1=21,S6=42 ,故AC正确，B错误； 当n23时，a,=2S2+1,即-1=2S,+1 则S,+S=2(S+S2)+1,所以S,+S}不是等比数列，故D错误 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 第8页/共19页 学科网组卷网 12已知点M(v2-5),N(5,2). 则直线MN的倾斜角为， 3π 【答案】4 【解析】 【分析】应用两点式求MN的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角即可 【详解】由题设，w2- -3-√2 =1,若MN的倾斜角为0则a0=-' 又0∈0，)，故0-3 4 3π 故答案为：4 13.等差数列{a,}中，其前n项和为10，其前2n项和为50，则其前3n项和为. 【答案】1200 【解析】 【分折】由等差数列前”项和性质可得，。一，心。一成等差歌列，列方程可得 【详解】因为a,}是等差数列， 则S,-,。-成等差数列： 100,500-100,S3n-500 成等差数列， 即800=100+Sn-500 解得。-1200 故答案为：1200 14已知数列{a,}的前n项和为S.(S,≠0)，T为数列S,}的前n项积，满足S,+T,=S。T,(neN) 给出下列四个结论： 第9页/共19页 6学科网命组卷网 2 ①a=2:②0 n(2m-可：@亿}为等若数列：④5。="+ n 其中所有正确结论的序号是 【答案】①③④ 【解析】 【分折】根据关系式S,+。=S了，当n=1时，即可求得a的值：由S,+.=S,-工，得， Sn-1, 1 当n≥2时，可得，可证男，一可 为等差数列，即可求得S,则可求得Tn,a,则可判断 其他选项 【详解1因为S+,=S,T,(n∈N）,所以当n=1时，S+Z=S?→2a=G,解得4=2或 4=0 又，*0 政92 所以4≠0 ,故①正确： 因为Sn+Tn=Sn·Tn,可得Sn≠1，所以 -.n2时 =×1=×$→11=S-111 所以TnS.-1S S-1 S 818818xs1 -→ 1 1 &-可是以8-1为首项，为公若的等差数划，所以一1+(a-x1=”,则S.-"中 ④正确： n+1 所以T,= =n一=n+1,则 。-1n+1-1 ，所以 为等差数列，故③正确； T-T1=(n+1)-n=1,n22 {T} 第10页/供19页 6学科网 组卷网 当n≥2时，0，=8-81=”+1月=72-1-n2 1 nn-1n(n-l)n(n-1),又a=2不符合 [2,n=1 所以a,= n(n-)n≥2，故②不正确 1 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知 Al,0)B(0,2)-P(a,b) 点 在线段1B上 (1)求直线AB的斜率； (2)求ab的最大值， 【答案】(1)-2 (2)2 【解析】 【分析】(1)利用两点斜率公式可直接解答： a,b (2)先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答. 【小问1详解】 _2-0=-2 由题意知，直线AB的斜率 B=0-1 【小问2详解】 P(a,b)A,B 当点 在 两点之间时， P(a,b) 由点 在线段AB上， b-0=-2 易知kAP=kB,即a-1 第11页/共19页 6学科网6组卷网 =-2a+2(0<a<1) 即 当P与 重合时也满足b=-2a+2 4, =-2a+2(0≤a≤1) 因此 亦即2a+b=2,且0≤a≤1,0≤6≤2 所以2=2a+b≥2V2ab 1 .ab≤ 2， 1 当且仅当2a=6,即a=2b=1 a= 时，等号成立 1 故ab的最大值为2 16等比数列{a,}的公比为2，且4,4+2，成等差数列 (山)求数列a,}的通项公式 （2)若。=og2(a,a,)+a,求数列.}的前n项和7， 【答案】(1)a=2”,n∈N （2)7,=+2n+21-2 【解析】 【分析】(1)由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解， (2)由分组求和，结合等差等比的求和公式即可化简求值. 【小问1详解】 已知等比数列{a,}的公比为2，且“，4+2，a4成等差数列， 第12页/供19页 6学科网6组卷网 ∴.2(a+2)=a2+a4 ∴2(4a+2)=2a+8a,解得4=2， ∴.an=2x2"=2",neN； 【小问2详解】 b,=log2(2”.2）+2”=log2221+2”=2n+1+2” =20+2++川+n++2++2r）=2+2++小+a+2-2） 1 =n2+2n+2m+1-2; 17.已知数列{a,}各项均为正数，且4=1，aa,+a1-a,=0neN), 1 n= (1)设 an，求证：数列{bn}是等差数列： {a。 (2)求证：数列n+1'的前n项和Sn<l对于任意n∈N恒成立 【答案】(1)因为a14,+a1-a,=0(n∈N) 所以18。 an+1, 因%、1 an, 所-6==111 an+i an anan, 1 -=1 第13页/供19页 6学科网6组卷网 所以数列，}是以1为首项，1为公差的等差数列： 1 (2)由上可知， bn=-=n 1 所以0， an 111 所以n+1n(n+l)nn+1, --引r日11 故数列n+l'的前n项和Sm<l对于任意n∈N恒成立. 【解析】 【分析】(1)利用递推关系式及等差数列的定义即得： 1 an= (2)由题可得”n,然后利用裂项消项法求解数列的和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18已知等比数列{a}的前n项和为S,且4，-4=S,=30. (1)求数列a,}的通项公式a: (②)若6=2-6，+0，么=2，求数列他}的通项公式点： (3)求数列b}的前n项和T 第14页/供19页 6学科网 组卷网 【答案】(1)a,=2”,n∈N (2)b。=n-2”,n∈N (3)T,-(n-l)2+2,n∈N 【解析】 a94-a=30 【分析】(1)根据条件，建立方程组 4-4）-30 即可求解： 1-9 b.1 (2)根据条件得到2*12” 6三1、小雨有2是以名为直项，公差的等差数列，即可求解 (3)根据条件，利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 设等比数列{a,}的公比为9(g≠0)，因为“马，≠4，所以9≠1， a5-a=a94-a=30 则 ,-4g）-0解得红=2， 1-q (9=2 所以数列{a,}的通项公式4，=49=2”，neN 【小问2详解】 2·b+0,即5=2地，+2m所以2号 fb1 一所以2园是以9=为首项，公差的等差数列， 所以2” 2=1+0n-0三n,很到b,=n-2”,neN 【小问3详解】 第15页/供19页 命学科网命组卷网 bn=n2",n∈N 所以7。=1×2+2×22+3×23+…+n-2 ①， 则27。=1×22+2×23++(n-1）-2”+n-21 ②， 0-@,每=2+22+2+…+2-m2=222-n2=0-21-2 1-2 则T=(n-)2+2,neN 19设”条直线最多把平面分成0部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成4=2 部分，两条直 线最多把平面分成4=4。 部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都 相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在4 部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即4=4，+3=7 ，依次类推得 n2+n+2 Q,=a,1+n,累加化简得a,=2二.根据上面的想法，设n个平面最多把空间分成b,部分，且 12+22+32+…+n2=nn+10(2n+) 6 1)求6 (2)写出b1与，之间的递推关系式 (bn) (3)求出数列“ 的通项公式 【答案】(1)b,=15 第16页/供19页 命学科网组卷网 (2)b1=bn+ n2+n+2 (3)6 n3+5n+6 6 【解析】 【分析】(1)根据条件，找出规律，依次求出前3项，即可求 ba的值： (2)根据规律，归纳推理，即可得到递推关系式： (3)利用叠加法和等差数列求和公式及连续自然数平方和公式，便可求出通项公式. 【小问1详解】 设”个平面最多把空间分成，部分， 1个平面最多把空间分成2个部分，即么=2 2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即么=么+2=4 3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交 线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在，部 分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即么=么+4=8 4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线 都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在部分 空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即6，=6+7=15 【小问2详解】 由小问(1)知： b=2=1+1=1+ 02+0+2 2, 第17页/供19页 6学科网6组卷网 12+1+2 b,=4=2+2=6+ 2, 22+2+2 6=8=4+4=6,+2, .32+3+2 b,=15=8+7=6+2, … 依次类推 6,=b1+m-)2+n-1)+2 2 所以b1=,+ n2+n+2 2； 【小问3详解】 由小问(2)知： 6=2=1+2 , 6-4=+1+2 2, 么-6=2+2+2 2, 6-6=32+3+2 2, 6n-b1=m-)+n-1)+2 2 第18页/供19页 6学科网命组卷网 g得么=1++2+3+…+a-》+1+2+3+tM-》+20 +2+32+…+m2=nm+102m+D1+2+3++m-)=0-00+n-D-n0-D 根据 6 2 Γ2， 化简可得久，- n3+5n+6 6 第19页/供19页