第12讲第十一章三角形达标检测卷-2024-2025学年人教版八年级数学上册 点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12讲 第十一章达标检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．一个三角形的三边长分别为3，6，2m﹣1，则整数m的值可能是（　　） A．3，4，5 B．3，4 C．2，3 D．4，5 2．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 3．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝AB的长度为100cm，圆圆从M，N两处弯曲，其中AM＜AN，她一定不能成功的是（　　） A．10cm＜AM＜30cm B．20cm＜4M＜40cm C．30cm＜AM＜40cm D．50cm＜AM＜60cm 4．下列图形中，可以求出α度数的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC的边BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中一定正确的是（　　） A．∠ACB＞∠ACD B．∠ACB＞∠1+∠2+∠3 C．∠ACB＞∠2+∠3 D．∠1＝∠3 6．在一个多边形中，它的内角是锐角的最多可以有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 8．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 9．如图，在△AOB中，AO1，BO1分别平分∠OAB，∠OBA，AO2，BO2分别平分∠OAO1，∠OBO1，若∠O＝60°，则∠O2＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 10．如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE；⑤∠ADF＝∠AFB．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 评卷人 得 分 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，且第三边为奇数，则第三边长为 　 　． 12．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　 　． 13．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　 　°． 14．如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　 　． 15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　 　． 评卷人 得 分 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝110°，求∠BCF的度数． 17．（9分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 18．（8分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 　 　． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 19．（8分）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　 　（用α表示）． 20．（9分）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 21．（10分）（概念学习） 在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝　 　°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°； 直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM． 22．（12分）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　 　． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　 　°． 23．（13分）阅读并填空．将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　 　度；∠ABP+∠ACP＝　 　度； （2）类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由； （3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12讲 第十一章达标检测卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．一个三角形的三边长分别为3，6，2m﹣1，则整数m的值可能是（　　） A．3，4，5 B．3，4 C．2，3 D．4，5 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】B 【分析】先根据三角形的三边关系定理求出m的取值范围，再判断各选项即可得． 【解答】解：由三角形的三边关系定理得：6﹣3＜2m﹣1＜3+6， 解得2＜m＜5， 则整数m的值可能是3，4， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理、一元一次不等式组的应用．解题的关键是了解三角形的三边关系，难度不大． 2．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】B 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：A，B，D都不是△ABC的边BC上的高． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 3．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝AB的长度为100cm，圆圆从M，N两处弯曲，其中AM＜AN，她一定不能成功的是（　　） A．10cm＜AM＜30cm B．20cm＜4M＜40cm C．30cm＜AM＜40cm D．50cm＜AM＜60cm 【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式．版权所有 【答案】D 【分析】根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【解答】解：∵A M，MN，NB能构成三角形， ∴AM＜MN+NB＝BM， ∴AM＜100﹣AM， 解得AM＜50， 又∵AM＞0， ∴0＜AM＜50， ∴选项D不符合要求． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 4．下列图形中，可以求出α度数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】A 【分析】＝利用三角形的内角和定理，三角形的外角性质对各选项进行分析即可． 【解答】解：A、已知三角形的三个内角的度数都为α，可求得α的度数为60°，故A符合题意； B、另一锐角的度数不知道，不能求得α的度数，故B不符合题意； C、与α不相邻的内角只知道一个的度数，不能求得α的度数，故C不符合题意； D、另一锐角的度数不知道，不能求得α的度数，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 5．如图，在△ABC的边BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中一定正确的是（　　） A．∠ACB＞∠ACD B．∠ACB＞∠1+∠2+∠3 C．∠ACB＞∠2+∠3 D．∠1＝∠3 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】C 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依此即可求解． 【解答】解：由三角形外角的性质可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则∠ACB＞∠2+∠3， 无法得到∠ACB＞∠ACD． 故选：C． 【点评】考查了三角形的外角性质，关键是熟悉三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的知识点． 6．在一个多边形中，它的内角是锐角的最多可以有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】A 【分析】一个多边形的外角和360度，多边形的内角与外角互为邻补角，在这些外角中如果钝角的个数超过三个，外角和就超过360度，但如果有3个钝角，再有一个或几个锐角，外角和可以是360度；因而一个多边形中，它的外角最多可以有3个钝角；即可求得内角最多有几个． 【解答】解：∵一个多边形的外角和360度， ∴外角最多可以有3个钝角， 又∵多边形的内角与外角互为邻补角， ∴一个多边形中，它的内角最多可以有3个锐角． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，考虑多边形的内角的问题，由于内角和不确定，而外角和是一个定值，因而转化为考虑外角和的问题比较简单． 7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】B 【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可． 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键． 8．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键． 9．如图，在△AOB中，AO1，BO1分别平分∠OAB，∠OBA，AO2，BO2分别平分∠OAO1，∠OBO1，若∠O＝60°，则∠O2＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠OAB+∠OBA＝120°，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【解答】解：∵∠O+∠OAB+∠OBA＝180°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠O＝180°﹣60°＝120°， ∵AO1，BO1分别平分∠OAB，∠OBA， ∴，， 又∵AO2，BO2分别平分∠OAO1，∠OBO1， ∴， ∴， ∴∠O2＝180°﹣（∠O2AB+∠O2BA）＝180°﹣90°＝90°， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 10．如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE；⑤∠ADF＝∠AFB．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】B 【分析】根据平行线的性质证得AH⊥EF，判断①，结合角平分线的定义可得∠ABF＝∠EFB，判断②，根据等角的余角相等可得∠E＝∠ABE判断③，由AC与BF不一定垂直，判断④，根据已知条件，结合三角形的内角和定理不能判断∠BAF＝90°，即可判断⑤． 【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC， ∴AH⊥EF，故①正确； ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠EFB，故②正确； ∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直， ∴BE∥AC不一定成立，故③错误； ∵BE⊥BF， ∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF， ∴∠E＝∠ABE，故④正确． 由③可知BE∥AC不一定成立， ∵∠ADF＝∠BDH， 又∴∠BDH+∠DBH＝90°， ∴∠ADF+∠DBH＝90°， 又∵∠BAF不一定等于90°， ∴∠ADF＝∠AFB不一定成立，故⑤不一定正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识的运用，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 评卷人 得 分 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，且第三边为奇数，则第三边长为 　9cm　． 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】9cm． 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长． 【解答】解：设第三边长x cm． 根据三角形的三边关系，得7＜x＜11． 又∵三角形的第三边长是奇数，因而满足条件的数是9cm． 故答案为：9cm． 【点评】考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 12．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　19　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】19． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+CD+AD＝18， ∵AC＝7， ∴CD+AD＝18﹣7＝11， ∴BD+AD＝11， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝8+11＝19， 故答案为：19． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 13．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　56　°． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，根据折叠的性质得到∠3＝∠4，∠5＝∠6，再利用平角定理得到2∠3+∠1＝180°，2∠5+∠2＝180°，把两式相减得到∠1﹣∠2＝2∠5﹣2∠3，再利用三角形外角性质得到∠5＝∠3+∠B，所以∠1﹣∠2＝2∠B． 【解答】解：如图， ∵△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠3+∠4+∠1＝180°，∠5+∠6+∠2＝180°， ∴2∠3+∠1＝180°，2∠5+∠2＝180°， ∴∠1﹣∠2＝2∠5﹣2∠3， ∵∠5＝∠3+∠B， ∴2∠5＝2∠3+2∠B， ∴∠1﹣∠2＝2∠B＝2×28°＝56°． 故答案为：56． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质． 14．如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　52°　． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】52°． 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出∠E，利用三角形内角和定理求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图， ∵BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ， ∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4， ∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E， ∴2∠F＝∠E＝32°， ∵BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN， ∴∠5+∠6＝，， ∴， ∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝32°， ∴∠5+∠6+∠1＝148°， ∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝296°， ∵BD，CD分别平分∠ABC，ACB， ∴∠DBC＝，， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝64°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠DBC+∠DCB）＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理三角形外角性质，角平分线的性质是解题的关键． 15．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　40°　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【解答】解： ∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 评卷人 得 分 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝110°，求∠BCF的度数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】50°． 【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DBF的度数，从而得到∠ABC＝2∠DBF＝40°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【解答】解：∵CD是AB边上高， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BFC＝110°， ∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDC＝20°， ∵BE为角平分线， ∴∠ABC＝2∠DBF＝40°， ∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝50°． 【点评】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，直角三角形的性质． 17．（9分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】（1）1； （2）121°； （3）129°． 【分析】（1）根据△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，可得△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再根据中线定义得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2即可得出答案； （2）根据BE是∠ABC的平分线得∠ABE＝31°，再根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再由三角形外角性质得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，据此即可得出答案； （3）根据∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD， △ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD与△ACD的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【点评】此题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 18．（8分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 　5＜x＜11　． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】（1）5＜x＜11； （2）19． 【分析】（1）利用三角形的三边关系作答即可； （2）利用三角形的三边关系，等腰三角形的性质以及三角形周长公式作答． 【解答】解：（1）根据题意，得8﹣3＜x＜8+3． 所以5＜x＜11． 故答案为：5＜x＜11； （2）当x＝3时，3+3＜8，不构成三角形； 当x＝8时，周长为3+8+8＝19． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 19．（8分）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　（用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　　（用α表示）． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由三角形内角和为180度可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角平分线（角三等分线）的定义即可求解； （2）由三角形内角和为180度可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角三等分线的定义可得，可得结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α． 如图①所示，∵点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴． ∴； 如图②所示，∵，， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： ∵，，∠A＝α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝ ＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB） ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形内角和为180°． 20．（9分）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， ∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6）， ∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6）， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：∵∠B+∠C＝240°， ∴∠MDA+∠NAD＝240°， ∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD， ∴∠ADE+∠DAE＝（∠MDA+∠NAD）＝×240°＝120°， ∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 21．（10分）（概念学习） 在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝　225　°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　2α　；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°； 直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM． 【考点】多边形内角与外角；列代数式；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2∠AQM+2APM＝∠QCP，再根据等式的性质可得结论． 【解答】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°， ∴∠2＝360°﹣135°＝225°； 故答案为：225； （2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D； 理由：∵优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角， ∴优角∠BCD＝360°﹣钝角∠BCD， ∵四边形ABCD的内角和是360°， ∴优角∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B+∠D）， ∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D； （3）由（2）得，在镖型ABOC中，∠BOC＝∠A+∠B+∠C， 在镖型FDOE中，∠DOE＝∠F+∠E+∠D ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α， 故答案为：2α； （4）∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M， ∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM， 令∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM． 由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2∠AQM+2∠APM＝∠QCP， 于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A＝2∠PMQ， 而∠A+∠QCP＝180°， ∴∠PMQ＝90°，即PM⊥QM． 【点评】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． 22．（12分）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　20　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　2∠EAD＝∠C﹣∠B　． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　28　°． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）20；2∠EAD＝∠C﹣∠B； （2）∠EPD＝； （3）28． 【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系， （2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案， （3）分析同（2）． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣30°﹣70°）＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°， ∴a＝20， 故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B． （2）如图，过点A作AF⊥BC于F， ∵PD⊥BC，AF⊥BC， ∴PD∥AF， ∴∠EPD＝∠EAF， ∵△ABC内角和为180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣， 同时∠BAF＝90°﹣∠B， ∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE＝＝∠EPD， 综上所述，∠EPD＝； （3）同理（2），依旧可得∠EFD＝＝28°， 故答案为：28． 【点评】本题主要是考查三角形的内角和同位角相等的知识点，解题的关键在于各个角之间的转化，同时注意计算不能出错． 23．（13分）阅读并填空．将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝　90　度；∠ABP+∠ACP＝　40　度； （2）类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由； （3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）∠90，40；（2）∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由见解析． 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明． （3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵∠P＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°， 故答案为：90，40； （2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°， ∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°， ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A； （3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A， 理由是：设AB交PC于O，如图2： ∵∠AOC＝∠POB， ∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP， ∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A， 故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$