6.3.4空间距离的计算学案-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册问题导学单·第6章——空间向量与立体几何 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第6章 空间向量与立体几何 6.3 空间向量的应用 6.3.4　空间距离的计算 【学习目标】 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面及线面间的距离问题； 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 【温顾·习新】 一、点到平面的距离 思考　如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，θ＝〈，n〉，如何利用这些条件求点P到平面α的距离？ 填空　如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量， 则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉．从而 ． 因为||cos θ的绝对值即为点P到平面α的距离d，所以 ． 做一做　已知平面α的一个法向量n＝(2，－2，－1)，点A(1，－3，2)在平面α内，则P(－1，－2，2)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D．2 【温顾·习新】 【例1】已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2． (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 【变式1-1】如图所示，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C1到平面A1BD的距离为，求正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高． 二、点到直线的距离 思考　如图，借助于向量，如何求点P到直线l的距离？ 填空　(1)如图，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝|||n|·cos θ，其中θ＝〈，n〉，从而点P到直线l的距离为d＝ ． (2)如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝ ． 做一做　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC＝a，AA1＝2a(a>0)，则点D1到直线AC的距离为(　　) A．a B． C． D． 【例2】如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 【变式2-1】如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离． 三、直线(平面)到平面的距离 思考　类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 填空　(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【例3】如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 【变式3-1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 【总结提炼】 1．熟练应用一种转化思想：两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得，点面距可利用向量在平面的法向量上的投影向量求得，线面距、面面距可转化为点面距计算，线线距可转化为点线距计算． 2．熟记两个距离公式 (1)设P为直线l外的一点，A为直线上任意一点，n为由P和l确定的平面内与直线l垂直的向量，则P到直线l的距离为d＝． (2)设P为平面α外的一点，A为平面α内任意一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离为d＝． 【拓展强化】 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 3．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A． B．2 C． D． 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　) A． B． C． D． 5．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为(　　) A．2 B． C． D． 6．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________． 7．已知向量n＝(6，3，4)和直线l垂直，且在由直线l与点P(－4，0，2)确定的平面内，点A(2，0，2)在直线l上，则点P(－4，0，2)到直线l的距离为________． 8．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 10．如图的多面体是由底面为四边形ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 11．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． 12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，CC1＝2，E为B1C1的中点，F为C1D1的中点，则直线BD与EF之间的距离为________． 13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 14．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1(包括两个端点)上的动点，若直线BD与EF所成的角的余弦值为，则线段BD的长为________． ·6· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$