6.3.3空间角的计算学案-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册问题导学单·第6章——空间向量与立体几何 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第6章 空间向量与立体几何 6.3 空间向量的应用 6.3.3 空间角的计算 【学习目标】 1．能用向量方法解决简单夹角问题； 2．通过空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 【温顾·习新】 一、两条异面直线所成的角 思考　两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系是怎样的？ 填空　设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ． 做一做　设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　) A． B． C． D． 【研讨·拓展】 【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值． 二、直线和平面所成的角 思考　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是不是直线与平面所成的角？ 填空　设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ． 温馨提醒　(1)线面角的范围为． (2)斜线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 做一做　设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________． 【例2】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值． 【变式2-1】如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3． (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 三、二面角 思考　二面角的平面角就是该二面角两个面的法向量的夹角，对吗？为什么？ 填空　(1)由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的 所成的角．因为二面角的平面角θ的取值范围是 ，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角 (如图(1)(2))． (2)二面角的计算：设两个半平面α，β所在平面的法向量分别是n1，n2，二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ ． 做一做　已知锐二面角的两个半平面所在平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则此锐二面角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的平面角的余弦值． (3)求二面角B－A1C－D的平面角的余弦值． 思维升华　利用向量法求二面角的大小的步骤 第一步：建立适当的空间直角坐标系； 第二步：分别求出二面角的两个半平面所在平面α，β的法向量u，v的坐标； 第三步：利用公式cos〈u，v〉＝，求出法向量u，v的夹角φ； 第四步：判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 第五步：确定二面角的平面角的大小． 【变式3-1】如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求锐二面角A­MN­B的平面角的余弦值． 【总结提炼】 1．熟练一种方法：利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用向量的夹角公式计算． 2．注意一种区别：解决空间角问题，首先要注意熟记公式，其次要注意空间角和对应向量的夹角的区别． 【拓展强化】 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A． B． C． D． 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　) A．0 B． C． D． 4．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的平面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5．若正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________． 7．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． 8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy所成的锐二面角为45°，则a＝________． 9．如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．求异面直线AB与CD所成角的余弦值． 10．如图，已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．求SN与平面CMN所成角的大小． 11．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 12．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为________；平面ADC1与平面ABA1所成锐二面角的平面角的余弦值为________． 13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使二面角C－DE－C1的平面角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由． 14．(多选)如图①是一副直角三角尺的示意图．现将两三角尺拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图②所示，则下列结论中正确的是(　　) A．·＝0 B．平面BCD与平面ACD垂直 C．异面直线BC与AD所成的角为 D．直线DC与平面ABC所成的角为 ·6· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$