6.3.2空间线面关系的判定学案-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册问题导学单·第6章——空间向量与立体几何 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第6章 空间向量与立体几何 6.3 空间向量的应用 6.3.2　空间线面关系的判定 【学习目标】 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系； 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系． 【温顾·习新】 一、空间向量与平行关系 思考　(1)观察下图，直线l与平面α平行，e是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，e与n有什么关系？ (2)观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 填空　设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表： 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 平行 线线平行 l1∥l2 l1∥l2⇔ ，且l1与l2不重合⇔e1＝λe2，λ≠0，且l1与l2不重合 线面平行 l1∥α1 l1∥α1⇔ ，且l1⊄α1⇔e1·n1＝0，且l1⊄α1 面面平行 α1∥α2 α1∥α2⇔ ，且α1与α2不重合⇔n1＝λn2，λ≠0，且α1与α2不重合 做一做　若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4), 则(　　) A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合 【研讨·拓展】 【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F． 【变式1-1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS． 二、空间向量与垂直关系 思考　(1)如图，直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，直线l1，l2垂直时，e1，e2之间有什么关系？ (2)如图，设e是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，e，n之间有什么关系？ 填空　 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 垂 直 线线垂直 l1⊥l2 l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔ 线面垂直 l1⊥α1 l1⊥α1⇔e1∥n1⇔ 面面垂直 α1⊥α2 α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔ 做一做　若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 【变式2-1】在四棱锥 S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． 【例3】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2． (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 【总结提炼】 1．牢记利用向量证明空间平行、垂直的两种思路： 一是用一组基底表示直线的方向向量、平面的法向量，把线、面的位置关系转化为向量的关系，利用向量的运算进行判断； 二是用向量的坐标表示直线的方向向量、平面的法向量，把直线、平面的位置关系转化为向量的共线或数量积的运算问题． 2．熟悉解决立体几何问题的三个步骤： (1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 【拓展强化】 1．(多选)若直线l的一个方向向量为d＝(6，2，3)，平面α的一个法向量为n＝ (－1，3，0)，则直线l与平面α的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．不能确定 2．设直线l1的一个方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1 B．－2 C．－3 D．3 3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 4．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2 B．直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β D．直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α 5．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线EM(　　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直 6．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________． 7．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)．若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________． 8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的结论是________(填序号)． 9．已知在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E． 10．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 11．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝都与平面α平行，则向量a等于(　　) A． B． C． D． 12．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是(　　) A．·＝0 B．AB⊥DC　 C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 13．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA． 14．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由． 【13,14题过程写在反面】 ·6· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$