6.3.3 空间角的计算（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

XINKECHENG XUEAN第6章空间向量与立体几何 6.3.3空间角的计算 明学习目标 知结构体系 1.能用向量方法解决简单夹角问题. 课标 求线线角 要求 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究 (0, 几何问题中的作用. 空间角的计算 范 求线面角 [0,] 重点 重点：利用空间向量求空间角. 求二面角 难点 难点：利用空间向量求空间角. [0, [四层]学可内容」 落实必备知识 空间角 即时小练衫你学通 角的分类 向量求法 范围 1.判断正误 设两条异面直线所成的角为0，它 (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成 异面直线 们的方向向量分别为a,b,则cos0 的角相等。 () 所成的角 (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线 直线与 设直线l与平面α所成的角为0，l的 l与平面a所成的角. () 平面所成方向向量为a,平面a的法向量为n, 0, (3)若二面角acl-B的大小为0，平面a,B的法向量分 2 的角 则sin0= 别为n1,n2,则0=〈n1,n2）. () 2.已知向量m,n分别是直线l和平面a的方向向量、法 设二面角rl3的平面角为0，平面 二面角 a,3的法向量分别为n1,n2,则cos0[0,π] 向量，若cos〈m,n》= ,则直线1与平面a所成的 1 或 角为 () A.30 微点注解帮你旦清 B.60 C.1209 D.150 (1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1), 问题。 则两平面所成的二面角的大小为 () (2)两平面所成的角的范国是[0，受]二面角的范国是[0， A.45 B.135 (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念 C.45°或135 D.90 [四层]学：列内容 强化关键能力 题点一] [听课记录] 向量法求异面直线所成的角 [典例] 如图，在直三棱柱 AB,C,-ABC中，AB⊥AC,AB= B AC=2,AA=4,点D是BC的中 点.求异面直线AB与C,D所成角的 B 余弦值. 商在微点"：刘刷直三棱柱特征建。坐称表， 出长度得别生和何量的坐行，应用分其计算 了27 SJ数学选择性必修第二册XINKECHENG XUEAN …[方法技巧] …[方法技巧]… 求异面直线所成角的方法 求线面角的两种思路 (1)基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型 (1)线面角转化为线线角.根据直线与平面所成 中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线α与b 角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解， 上分别取点A,B和C,D,则AB与CD可分别作为a, 此时要注意两直线夹角的取值范围. b的方向向量，则cos0=1A店·CD, (2)向量法.方法一：设直线PA的方向向量为a, 根据条件可以把 ABICDI 平面a的法向量为n,直线PA与平面a所成的角为0 AB与CD用基表示，再进行计算， (0e[0,受]）a与n的夹角为9，则sin0=cosg- (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐 :|a·n 标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避： am,方法二：设直线PA的方向向量为a,直线PA 免了传统找角或作角的步骤，使过程变得筒单， 在平面a内的投影的方向向量为b,则直线PA与平面 a所成的角0满足cos0=|cos(a,b). [对点训练] 如图，在空间直角坐标系中 [对点训练 有直三棱柱ABCA1B,C1 如图，在直四棱柱ABCD A1BCD1中，AB∥CD,DC= A CA=CC1=2CB,直线BC 与直线AB,夹角的余弦值为 2,AA=3,AB=BC=AD=1, 点E和F分别在侧棱AA1, CC上，且AE=CF=1.求直 c. D. 5 线AD与平面D,EF所成角的 [题点二] 正弦值. 向量法求直线与平面所成的角 [典例]正三棱柱ABCA1B,C1的底面边 长为a,侧棱长为√2a,求AC,与侧面ABB1A,所 成角的大小 赢在微“点” [听课记录] 建立违当的坐前 茶，求C-与平百法阿量 所阁第的余窝值 28） XINKECHENG XUEAN第6章空间向量与立体几何| [题点三] 2.利用法向量求二面角的大小的一般步骤 向量法求二面角 建系 建立适当的空间直角坐标系 [典例]如图，四棱柱 求法 分别求出二面角的两个半平面所在 ABCD-A1B,C,D1的所有棱长 B 向量 平面的法向量 都相等，AC∩BD=O,AC1∩ 求值一求出两个法向量的夹角的余弦值 B,D1=O1,四边形ACCA1和 四边形BDDB,均为矩形 定值 确定二面角的平面角的大小 (1)证明：O,O⊥底面ABCD; [对点训练] (2)若∠CBA=60°，求二面角C1OB1