6.3.1直线的方向向量与平面的法向量学案-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册问题导学单·第6章——空间向量与立体几何 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第6章 空间向量与立体几何 6.3 空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 【学习目标】 1．能用向量语言表述直线和平面； 2．理解直线的方向向量与平面的法向量； 3．会求直线的方向向量与平面的法向量． 【学习目标】 一、直线的方向向量 思考　直线l的方向向量一定与直线l平行，对吗？ 填空　把直线l上的向量e(e≠0)以及 的非零向量叫作直线l的方向向量． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有 个． 做一做　若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2，1，1) B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) 【温顾·习新】 【例1】(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 (2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量． 【变式1-1】(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) (2)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 二、平面的法向量 思考　若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行，对吗？ 填空　由于垂直于同一平面的直线是互相 的，所以，我们可以考虑用平面的 的方向向量来刻画平面的“方向”． 如果表示非零向量n的有向线段所在直线 于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作 ．此时，我们把向量n叫作平面α的法向量． 做一做　已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为(　　) A．(0，1，－1) B．(－1，0，1) C．(1，1，1) D．(－1，0，0) 【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 思维升华　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，． (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 【变式2-1】在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量． 【例3】已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 【变式3-1】在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式． 【总结提炼】 1．牢记两点提醒： (1)直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向量； (2)一个平面的法向量有无数多个，且它们互相平行． 2．熟悉两种解题策略： (1)求直线的方向向量的实质仍然是共线向量定理的应用； (2)求平面的法向量和空间点的坐标都应用了方程思想． 【拓展强化】 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 2．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(　　) A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 3．(多选)已知直线l过点P(1，0，－1)且平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4，2) B．(0，－1，1) C． D． 4．(多选)若是平面ABCD的一个法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 5．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列各点中，在平面α内的是(　　) A．P(1，－1，1) B．Q C．M D．N 6．设平面α的一个法向量为m＝(－1，3，5)，点P(－1，1，1)在平面α内，M(x，y，z)是α内任意一点，则x，y，z满足的关系式为________． 7．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． 8．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________． 9．如图所示 ，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量． 10．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的一个法向量． 11．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 12．(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 13．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量． 14．(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$