6.2.2空间向量的坐标表示(第2课时 空间向量数量积的坐标表示)学案-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册问题导学单·第6章——空间向量与立体几何 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第6章 空间向量与立体几何 6.2 空间向量的坐标表示 6.2.2 空间向量的坐标表示 (第2课时　空间向量数量积的坐标表示) 【学习目标】 1．掌握空间向量的数量积的坐标表示； 2．能利用空间两点间的距离公式解决有关问题． 【温顾·习新】 一、空间向量数量积的坐标运算 思考　设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 填空　设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos〈a，b〉 a⊥b a·b＝0 模 |a|＝ 夹角余弦 cos〈a，b〉＝ 做一做　已知a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos 〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D．－ 【研讨·拓展】 二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 思考　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 填空　(1)空间两点间的距离公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离为AB＝ ． (2)空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为 ． 做一做　已知点A(2，3，－1)，B(0，2，3)，则＝________，||＝________． 【例1】(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． (2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值是______． 【变式1-1】已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)．若2a－b与b垂直，则n＝________． 【例2】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 【变式1-2】已知点M(3，2，1)，N(1，0，5)，求： (1) 线段MN的长度； (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件． 【例3】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF； (2)求cos 〈，〉； (3)求CE的长． 【变式3-1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求cos 〈，〉． 【总结提炼】 1．空间向量数量积坐标运算的两种思路： (1)先求坐标再运算；(2)先类比多项式进行化简，再代入坐标求解． 2．一种求解向量的夹角及模的方法：利用空间向量的坐标运算求夹角、模(或距离)问题时要先利用题设条件写出相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，进而利用空间向量的夹角公式和模求解． 【拓展强化】 1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1，2，2)，(2，－2，1)，则||等于(　　) A．18 B．12 C．2 D．3 2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B． C． D． 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3 B．2 C． D．5 4．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos 〈a，b〉等于(　　) A． B． C． D． 5．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(2，－1，0)，c＝(0，1，－2)，则下列结论正确的是(　　) A．a·(b＋c)＝4 B．(a－b)·(b－c)＝－8 C．记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝ D．若(a＋λb)⊥c，则λ＝3 6．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________． 7．若a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则x＝______，y＝______，z＝________． 8．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________． 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点， 问当点N位于线段AB何处时，MN⊥MC1？ 10．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值． 11．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 12．已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 13．在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，以O为原点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值； (2)过点O1作O1D⊥AC于点D，求点O1到点D的距离． 14．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$