九年级第一次月考押题卷（宁波专用）（考试范围：浙教版第1-2章）-2024-2025学年初中数学上学期模拟提升检测金卷（月考+期中+期末）（浙江专用）

九年级第一次月考押题卷（宁波专用） 考查范围：第1-2章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．在装满红球的袋子中摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则d的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 4．（2024·浙江嘉兴·一模）某小区有5000人，随机调查了1000人，其中400人观看了杭州亚运会的比赛．在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抽中的扑克牌编号是3的概率 B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 C．抽中的扑克牌编号大于3的概率 D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约米，与篮筐的水平距离，此球准确落入高为米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2023九年级上·浙江·专题练习）对角线相等的四边形是矩形，这是一个 事件．（从“随机、不可能、必然”中选一个填入） 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 13．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 杯口朝上频数 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约是 ． 15．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）米关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 三、解答题（8小题，共68分） 17．（22-23九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知． (1)求S与t的函数关系式； (2)当时，求S的值； (3)求S的最大值或最小值． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 20．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 23．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第一次月考押题卷（宁波专用） 考查范围：第1-2章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．在装满红球的袋子中摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 【答案】B 【分析】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件； B、在装满红球的袋子中摸出一个黑球，是不可能事件； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； D、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件； 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质和二次函数的解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴函数的最大值是， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则d的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出d范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：如图，根据题意可知． 对称轴为， ∵， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即，整理得． ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得． 综上，或． 故选：D． 4．（2024·浙江嘉兴·一模）某小区有5000人，随机调查了1000人，其中400人观看了杭州亚运会的比赛．在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率公式和用样本估计总体，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解题的关键是掌握概率的公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件A的概率． 【详解】解：∵随机调查了1000人，其中人观看了杭州亚运会的比赛， ∴该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是：． 故选：C． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答． 【详解】列表如下：    总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种， 指针指向的数的和为正数的概率为：； 指针指向的数的和为非正数的概率为：； ∵，概率相同， ∴甲、乙获胜的概率相同， 即游戏对二人公平， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抽中的扑克牌编号是3的概率 B．抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率 C．抽中的扑克牌编号大于3的概率 D．抽中的扑克牌编号是偶数的概率 【答案】B 【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可． 【详解】A、抽中的扑克牌编号是3的概率为，不符合试验的结果； B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率，基本符合试验的结果； C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为，不符合试验的结果； D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率，不符合试验的结果． 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键． 可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意． 故选：B． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴， ，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴∵， ∴，故C符合题意； ∴； ∴错误，故D不符合题意； 故选：C． 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约米，与篮筐的水平距离，此球准确落入高为米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．根据题意设抛物线解析式为，再把和代入解析式，求出a，k即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线过点和，对称轴为直线， ∴设抛物线解析式为， 把和代入解析式得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴函数的最大值为， ∴球在运动中离地面的最大高度为， 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2023九年级上·浙江·专题练习）对角线相等的四边形是矩形，这是一个 事件．（从“随机、不可能、必然”中选一个填入） 【答案】随机 【分析】根据矩形的判定方法及随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，因此这是一个随机事件． 故答案为：随机． 【点睛】此题考查了随机事件及矩形的判定方法，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可分析得出当时，随的增大而减小，结合题意即可得出答案． 【详解】解：∵， 故，抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 【答案】4 【分析】根据函数的表达式，先求出函数的对称轴，再根据当得出当最后将点代入函数表达，将m和n用a、b表示出来即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为：， ∵ ∴当即：， 整理得：， 将点代入得： ， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式分析函数的对称轴以及最值． 14．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 杯口朝上频数 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约是 ． 【答案】 【分析】分别计算每次的频率即可得到答案． 【详解】解： 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约是 故答案为：． 【点睛】此题考查利用频率得到大量重复实验的概率，掌握计算公式是解题的关键． 15．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）米关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行的最大距离是 米． 【答案】1200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．将写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得， ， 即当秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为1200米． 故答案为：1200． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可． 【详解】解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为， 故可得函数与轴交于， 故方程的解是，， 故答案为：，． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（22-23九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 (6)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式． 18．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知． (1)求S与t的函数关系式； (2)当时，求S的值； (3)求S的最大值或最小值． 【答案】(1) (2)25 (3)S有最小值-11 【分析】（1）将x和y的表达式代入S的表达式即可； （2）将代入（1）中得到的函数表达式求解即可； （3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴S与t的函数关系式为：． （2）将代入得：， ∴当时． （3）， ∴当时，函数S有最小值-11． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 【答案】(1)从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件；摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件 (2)从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，正确的理解题意是解题的关键． （1）由不可能事件与随机事件的定义，即可求得答案． （2）根据摸球的结果有红球和白球，再结合随机事件的概念可得答案； 【详解】（1）解：箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件 摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件； （2）解：从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件． 20．（23-24九年级上·浙江金华·期末）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； (2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； (3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． （1）求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率； （3）根据（2）中列表法，分别求出指针落在黄色区域和指针都落在蓝色区域的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， 指针落在红色区域； （2）解：列表法， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种， 指针都落在蓝色区域； （3）解：指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域． 公平． 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图像与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入中求出值，则，当时，，解该方程即可求出； （2）根据图像即可求解． 【详解】（1）解：将代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， 所以：，； （2）由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； （2）由（1）可知二次函数的表达式为； （3）解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为：． 23．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里． (4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图： （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里． （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，   ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． （1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可； ②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是． 【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$