第2章 一元二次方程（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第2章 一元二次方程（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 2．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 4．若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（    ） A．20 B．24 C．28 D．20或28 5．一元二次方程方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 6．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 9．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．方程：的解为 12．如果是关于x的方程的一个根，则 ． 13．已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 14．若实数x满足，则 ． 15．如图，已知菱形的边长为a，E为对角线边上一点，且，若，则a的值为 ． 16．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 17．已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 18．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2) （公式法）． 20．（8分）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． ①，；②，；③，；④，． 21．（10分）已知关于的方程． （1）求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 22．（10分）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 23．（10分）甲商品的售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． （1）求、的长． （2）若点E为x轴上的点，且，求经过D、E两点的直线解析式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程，求出k值，然后再根据一元二次方程的定义选择合适的k值即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．将一元二次方程，移项，配方，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 或， 解得或， 分两种情况： 当时， ∵， ∴不能构成三角形； 当时， ∵， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形的边长为7， ∴菱形的周长为：， 故选：C． 5．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 7．B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 9．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．解题的关键是熟知增长率问题并列方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：． 10．B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数关系得到，根据两根在数轴上对应的点的距离为4得到，代入后即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：B 11． 【分析】本题考查解无理方程，需要注意对解进行检验． 把方程两边平方去根号得一元二次方程，解得后将解代入方程检验． 【详解】解：， 两边同时平方可得：，可化为：， 可解得：或； 经检验不符， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 把代入方程得，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴把代入方程，得， ∴， ∴． 故答案为：． 13．11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 14．6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解． 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是菱形，连接，交于点， ，，， ，， 在中，， 在中，， 即， 即， 解得：（舍去）， 故答案为：． 16．且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 17． 【分析】本题考查了根与系数的关系，整式的混合运算，解题的关键是牢记两根之和等于、两根之积等于． 根据先将整式化简，，是方程的两个根，求得，，代入即可求解； 【详解】解： ，是方程的两个根， ，， 将，代入 可得： 故答案为： 18．9或12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 19．(1)＝2＋，＝2－ (2)＝－1，＝－2 【分析】（1）先把2移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． （2）先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴＝2＋，＝2－． （2）∵ ∴a=1，b=3，c=2， ∴∆=9-8=1， ∴， ∴＝－1，＝－2． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 20．选②解方程，，；选③解方程，， 【分析】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解． 先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知b、c的值可在③④中选取，然后求解方程即可． 【详解】解：∵使方程有两个不相等的实数根， ∴， ①，； ∴，不符合题意，应舍去； ②，； ∴， ∴这个方程为：， ； ，； ③，； ∴， ∴这个方程为：， ，； ④， ∴，不符合题意，应舍去． 21．(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 22．(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式： （1）由方程有实数根，可得，可解得m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，根据，即可得关于m的方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵该方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 23．(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 24．(1)，； (2) 【分析】（1）、的长是关于x的一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程，解得，且，即可得、的长； （2）由（1）得点的坐标，再根据,得到的长， 点E为x轴上的点，即可得点的坐标，根据平行四边形的性质，得点的坐标，将点、的坐标代入，从而得到经过D、E两点的直线解析式 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 解得：， 、的长是的两个根，且， ； （2）解： 四边形是平行四边形，， ， 纵坐标相同， 又， 点的坐标为 如图，已知， 所以，点E为x轴上的点，即点坐标， 设过D、E两点的直线解析式为， 把点、的坐标代入，得： 解得 过D、E两点的直线解析式为：或 【点拨】本题主要考查了一元二次方程、一次函数与平行四边形的综合应用，牢固掌握各性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$