精品解析：2024年山东省济南市九年级中考数学试卷模拟练习试题（长清三中九年级数学开学考试试题）

2024年济南市九年级中考数学试卷模拟练习卷解析（长清三中九年级数学开学考试卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 在下列算式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 10. 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①；②；③函数的最大值为；④当时，；⑤时，随增大而减少 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 分解因式：_____． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 15. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 19. 如图，四边形平行四边形，E，F在对角线上，，连接，．求证：． 20. 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732） 　　 21. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查学生只能选择其中一种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图： 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查抽取的学生人数为______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率． 22. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）求证：是平分线； （2）若，，求的长． 23. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． （1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； （2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 24. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 26. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年济南市九年级中考数学试卷模拟练习卷解析（长清三中九年级数学开学考试卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互余可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键． 5. 在下列算式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵引体向上做7个的人数最多， ∴众数为：7个， ∵第8个人的引体向上个数是10个， ∴中位数为：10个， 故选：C． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为一、三，其中在第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象两个分支在一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵第三象限的点的纵坐标总小于在第一象限的纵坐标，点在第三象限，点B、C在第一象限， ∴最小， ∵，，，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 10. 二次函数（）图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①；②；③函数的最大值为；④当时，；⑤时，随增大而减少 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的交点在轴的正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图可知：当时，图像在x轴下方， 则，故②正确； 当时，函数取最大值，且为，故③错误； ∵对称轴为直线，图像与x轴交于， ∴图像与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，随增大而增大，故⑤错误； ∴正确的有①②④，共3个， 故选B 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求与的关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可 【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为， ∴=， 解得n=6， 经检验n=6是原方程的根， 故答案为：6 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且 【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关键． 14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2， ∴∠GAB=， ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键． 15. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ∴， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ∴， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解是3，4，5 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是， 整数解为3，4，5． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤． 19. 如图，四边形为平行四边形，E，F在对角线上，，连接，．求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质推出，推出，根据证，根据全等三角形的性质推出即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴，即 ∵在和中 ， ∴， ∴． 20. 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732） 　　 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 答：点与桌面的距离约为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键． 21. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查学生只能选择其中一种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图： 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查抽取学生人数为______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计概率，能分析图表找出相关信息是解题的关键． （1）根据羽毛球的人数和所占百分比计算可得结果； （2）求出乒乓球的人数补图即可； （3）画出树状图，可得有16种等可能结果，找出符合题意的可能结果计算概率． 【小问1详解】 解：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：乒乓球的人数为：人，如图所示 【小问3详解】 解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D， 画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能结果，其到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种， 所以概率为． 22. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证； （2）在中，由勾股定理即可求半径． 【小问1详解】 证明：连接OD； ∵与BC相切于点D ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：∵ ∴在中； ∵， ， 设圆的半径为r， ∴ 解得， ∴圆的半径为3 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键． 23. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． （1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； （2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元 （2）乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少 【解析】 【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可； （2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解． 【小问1详解】 解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合实际意义． ． 答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元． 【小问2详解】 解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元 根据题意，得 ， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，最小值． 故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键． 24. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：； （2）的面积2.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式； （2）首先把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出B点坐标，然后利用的面积代入求解即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入一次函数的解析式中， 可得：， 解得：， 所以一次函数的解析式为：； 把点A的坐标代入反比例函数的解析式中， 可得：， 所以反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，，设一次函数与y轴的交点为C， 把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组：， 解得：， 经检验，均为原方程组的解， ∴点B的坐标为 当时， ∴点C的坐标为 ∴ ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵，， 当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想． 25. 如图①，抛物线与x轴交与、两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值： 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标； （3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解． 【小问1详解】 解：将、代入中， 有：， 解得：； 即抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 令，即有：，则C点坐标为：， 由可得其对称轴为：， 设直线的解析式为：， 代入、有： ，解得：， 直线的解析式为：， 如图，连接，，，， ∵、，， ∴， ∴的周长为：， ∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 即当点、、三点共线时，有最小，且为， 此时即可得到的周长最小，且为， 如图， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线的解析式中， 有：， 即Q点坐标为：； 【小问3详解】 解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且， ∵轴， ∴点、的横坐标相同，均为m， ∵点在抛物线上， ∴点坐标为：， 结合图象，根据题意有：， ∴， 整理得：， ∵，且， ∴当时，， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数关系式，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 26. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$