5.9　弧长及扇形的面积 课件 2024-2025学年鲁教版九年级数学下册

1111 9　弧长及扇形的面积 基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评 基础主干落实 1.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=_________.  2.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为S=_________.  3.比较扇形面积公式与弧长公式还可得到S=_______.   πR　  πR2　  lR　 ‹#› 【小题快练】 1.(2023·大连中考)在半径为3的圆中,90°的圆心角所对的弧长是( ) A.π B.9π C.π D.π 2.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3.(2023·哈尔滨中考)一个扇形的圆心角是150°,弧长是π cm,则扇形的半径是_______cm.  4.一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是_________.  5.(2023·永州中考)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为________度.  C B 　3　 　12π　 　60　 ‹#› 重点典例研析 【重点1】弧长公式及应用 【典例1】(教材再开发·P54“例1”拓展)(2022·温州质检)如图,在△ABC中,CA=CB,以AB为直径的☉O分别交CA,CB于点D,E. (1)求证:=. 【思维切入】(1)CA=CB→∠A=∠B→=→=. 【解析】(1)∵CA=CB,∴∠A=∠B,∴=, ∴+=+,∴=. ‹#› (2)若∠C=50°,半径OA=3,求的长. 【思维切入】(2)∠C=50°→∠A=∠B=65°→∠DOE的度数→的长. 【解析】(2)∵CA=CB, ∴∠A=∠B=(180°-∠C)=65°, ∵OA=OD=OB=OE, ∴∠ADO=∠A=65°,∠B=∠OEB=65°. ∴∠AOD=∠EOB=180°-2×65°=50°, ∴∠DOE=180°-2×50°=80°, ∴的长为=π. ‹#› 【举一反三】 1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧, 圆弧的半径OA=20 cm,∠AOB=90°,则=( ) A.20π cm B.10π cm C.5π cm D.2π cm B ‹#› 2.(2023·青岛中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°. 若☉O的半径为5,则的长为( ) A.π B.π C.π D.π C ‹#› 【技法点拨】 弧长相关计算的两个步骤 ‹#› 【重点2】扇形及相关图形阴影面积的计算 【典例2】(教材溯源·P55随堂练习T1拓展)(2023·阜新中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上AB异侧的两点,DE⊥CB,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE. (1)求证:DE是☉O的切线. 【解析】(1)连接OD, ∵DE⊥CB,∴∠E=90°, ∵BD平分∠ABE, ∴∠ABD=∠DBE, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠ABD, ∴∠ODB=∠DBE,∴OD∥BE, ∴∠ODE=180°-∠E=90°, ∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线. ‹#› (2)若∠ABC=60°,AB=4,求图中阴影部分的面积. 【解析】(2)连接OC,过点O作OF⊥BC,垂足为F, ∵∠ABC=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形, ∴OB=OC=BC=AB=2,∠BOC=60°,在Rt△OBF中,OF=OB·sin 60°=2×=, ∴S阴影部分=-S△BOC=-BC·OF=-×2×=-, ∴图中阴影部分的面积为-. ‹#› 【举一反三】 (2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连接OB,OC,OA,若 ∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是( ) A.π B.π C.π D.π C ‹#› 【技法点拨】 求不规则阴影面积的两种方法 1.分割求和法:即将阴影部分分割为几个规则的图形,分别求出面积,再相加. 2.补全求差法:即用包含阴影部分的规则图形面积减去其包含的空白部分面积. ‹#› (10分钟·16分) 1.(4分·推理能力、运算能力)(2023·沈阳中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,☉O的 半径为3,∠D=120°,则的长是( ) A.π B.π C.2π D.4π 素养当堂测评 C ‹#› 2.(4分·几何直观、运算能力)(2023·广安中考)如图,在等腰直角△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆 心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是( ) A.π-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-4 C ‹#› 3.(8分·推理能力、运算能力)(2023·郴州中考)如图,在☉O中,AB是直径,点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使∠BCD=∠A. (1)求证:直线CD是☉O的切线; 【解析】(1)连接OC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°, ∵OA=OC,∠BCD=∠A, ∴∠OCA=∠A=∠BCD, ∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°, ∴OC⊥CD, ∵OC是☉O的半径, ∴直线CD是☉O的切线; ‹#› (2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示). 【解析】(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°, ∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°, ∴∠BOC=2∠A=60°, 在Rt△OCD中,tan∠BOC==tan60°,CD=2, ∴=,解得OC=2, ∴阴影部分的面积=S△O CD-S扇形B O C=×2×2-=2-. ‹#› 本课结束 ‹#› $$