3. 7　二次函数与一元二次方程 第1课时 课件 2024-2025学年鲁教版九年级数学上册

1111 7　二次函数与 一元二次方程 第1课时 基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评 基础主干落实 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 2 ____________________ 1 ____________________ 0 ______________ 　两个不等实数根　  　两个相等实数根　  　无实数根　  ‹#› 【小题快练】 1.抛物线y=x2+2x-1与x轴的交点数是( ) A.没有交点 B.有两个交点 C.只有一个交点 D.交点数不能确定 2.(2024·北京期末)若抛物线y=x2+2mx+9与x轴只有一个交点,则m的值为( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±3 B D ‹#› 3.已知y=x2-(m-2)x+m-5是y关于x的二次函数,则该函数图象与x轴的交点情况 是( ) A.一定有两个交点 B.只有一个交点 C.没有交点 D.交点情况由m的取值确定 4.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是______________. 5.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点的坐标为(m,0),则代数式m2-m+2 021的 值为__________.   A 　k≥-且k≠0　 　2 022　 ‹#› 重点典例研析 重点1二次函数与一元二次方程 【典例1】(2023·淄博淄川区期中)已知函数y=x2-mx+m-3. (1)求证:无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点; 【自主解答】(1)∵y=x2-mx+m-3, ∴Δ=b2-4ac=m2-4(m-3)=m2-4m+12=(m-2)2+8>0,∴无论m为何实数,此函数的图象与x轴都有两个不同的交点; ‹#› 【典例1】(2023·淄博淄川区期中)已知函数y=x2-mx+m-3. (2)若函数图象不经过第三象限,求m的范围; 【自主解答】(2)∵y=x2-mx+m-3, ∴抛物线的对称轴为x=-=, 由题意得>0,解得m>0, 且x=0时,y=m-3≥0,解得m≥3, ∴当函数图象不经过第三象限时,m≥3; ‹#› 【典例1】(2023·淄博淄川区期中)已知函数y=x2-mx+m-3. (3)求证:无论m为何实数,此二次函数的图象一定经过第四象限. 【自主解答】(3)当x=1时,y=1-m+m-3=-2, ∴无论m为何实数,抛物线必过点(1,-2), 即二次函数的图象一定经过第四象限. ‹#› 【举一反三】 1.(2024·商洛质检)已知二次函数y=(m-1)x2-2mx+m+1.求证:该二次函数的图象与x轴有两个交点. 【证明】令y=0,则Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, ∴二次函数的图象与x轴有两个交点. ‹#› 2.已知二次函数y=(x+a)(x-a-2)(a为常数,且a≠-1). (1)求证:无论a取何值,二次函数的图象与x轴总有两个交点; 【解析】(1)由题意得:令y=0,(x+a)(x-a-2)=0, ∴x1=-a,x2=a+2, ∵a≠-1,∴-a≠a+2, ∴无论a取何值,二次函数的图象与x轴总有两个交点; ‹#› 2.已知二次函数y=(x+a)(x-a-2)(a为常数,且a≠-1). (2)点P(m,y1),Q(m+3,y2)在二次函数的图象上,且y1>y2,直接写出m的取值范围. 【解析】(2)对称轴是x==1, ∵点P(m,y1),Q(m+3,y2)在二次函数的图象上,且y1>y2, ∴m+3≤1或1-m>m+3-1, ∴m≤-2或m<-. 综上,m的取值范围是m<-. ‹#› 【技法点拨】 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系 1.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根. 2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根. 3.b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根. ‹#› 重点2二次函数与一元二次方程关系的综合应用(数形结合思想) 【典例2】如图是二次函数y=-x2+4x的图象,若关于x的一元二次方程-x2+4x-t=0 (t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是___________.  　-5<t≤4　 ‹#› 【举一反三】 1.已知二次函数y=x2-4mx+4m2+3(m为常数). (1)证明:不论m为何值,该函数图象与x轴没有公共点. 【解析】(1)Δ=(-4m)2-4×1×(4m2+3)=-12<0,所以x2-4mx+4m2+3=0没有实数解,所以不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点; ‹#› 1.已知二次函数y=x2-4mx+4m2+3(m为常数). (2)当自变量x的值满足-2≤x≤1时,与其对应的函数值y的最小值为4,求m的值. 【解析】(2)y=x2-4mx+4m2+3=(x-2m)2+3, 抛物线的对称轴为直线x=2m,a=1,开口向上,y有最小值3, 当自变量x的值满足-2≤x≤1时,与其对应的函数值y的最小值为4,分两种情况讨论: 当2m≤-2时,m≤-1,则x=-2时,y取最小值4,∴代入得4+8m+4m2+3=4, 解得m=-或-(舍去); 当2m≥1时,m≥,则x=1时,y取最小值4,∴代入得1-4m+4m2+3=4,解得m=1或0(舍去). 综上所述,m的值为-或1. ‹#› 2.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“黎点”.例如(-1,1),(2 022,-2 022)都是“黎点”. (1)求双曲线y=上的“黎点”; 【解析】(1)设双曲线y=上的“黎点”为(m,-m), 则有-m=,∴m=±3, 经检验,m=±3是分式方程的解, ∴双曲线y=上的“黎点”为(3,-3)或(-3,3); ‹#› 2.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“黎点”.例如(-1,1),(2 022,-2 022)都是“黎点”. (2)若抛物线y=ax2-7x+c(a,c为常数)上有且只有一个“黎点”,当a>1时,求c的取值范围. 【解析】(2)∵抛物线y=ax2-7x+c(a,c为常数)上有且只有一个“黎点”, ∴方程ax2-7x+c=-x有两个相等的根, 即ax2-6x+c=0,Δ=36-4ac=0, ∴ac=9,∴a=, ∵a>1,∴0<c<9. ‹#› 【技法点拨】 抛物线与直线的交点问题 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+b1(k≠0)的交点个数由方程组 的解的个数决定. 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点; 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点; 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点. ‹#› (10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力)已知抛物线y=x2-x-1,与x轴的一个交点为(m,0),则代数式 m2-m+2 023的值为( ) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 2.(4分·模型观念)若抛物线y=x2+4x+c与x轴没有交点,则c的值可以是( ) A.-3 B.0 C.2 D.5 素养当堂测评 D D ‹#› 3.(8分·抽象能力、模型观念)二次函数的顶点坐标是(-1,-6),并且图象经过点(2,3). (1)求这个二次函数的表达式; 【解析】(1)∵二次函数的顶点坐标为(-1,-6), 设二次函数表达式为y=a(x+1)2-6, 把(2,3)代入得: (2+1)2a-6=3, 解得a=1, ∴这个二次函数的表达式为y=(x+1)2-6; ‹#› 3.(8分·抽象能力、模型观念)二次函数的顶点坐标是(-1,-6),并且图象经过点(2,3). (2)求这个二次函数与x轴的交点坐标. 【解析】(2)把y=0代入y=(x+1)2-6得:(x+1)2-6=0,解得x1=-1,x2=--1, ∴这个二次函数与x轴的交点坐标为(-1,0),(--1,0). ‹#› 本课结束 ‹#› $$