3.4　二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第1课时　　课件　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

1111 4　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时 基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评 基础主干落实 函数 y=ax2+k y=a(x-h)2 a的值 a>0 a<0 a>0 a<0 开口方向 __________ __________ __________ __________ 对称轴 _________ 直线_________ 顶点坐标 __________ __________ 最值 最________  值_______ 最________ 值_______  最________  值_______ 最________ 值_______ 增减性 x>_______时,y随x的 增大而增大, x<_______ 时,y随x的增大而减小  x>0时,y随x的增大 而减小,x<0时,y随x 的增大而增大 x>h时,y随x的增大而 增大,x<h时,y随x的增 大而减小 x>h时,y随x的增大 而减小,x<h时,y随x 的增大而增大 　向上　  　向下　  　向上　  　向下　  　y轴　  　x=h　  　(0,k)　  　(h,0)　  　小　 　k　  　大　  　k　 　小　 　0　  　大　  　0　  　0　 　0　 ‹#› 连一连: ‹#› 【小题快练】 1.将抛物线y=-5x2向右平移1个单位长度,所得到的抛物线为( ) A.y=-5x2+1 B.y=-5x2-1 C.y=-5(x+1)2 D.y=-5(x-1)2 2.抛物线 y=-2x2-3的开口__________,对称轴是________,顶点坐标是__________, 当x________时,y随x的增大而增大,当x________时,y随x的增大而减小.  3.二次函数y=(x-1)2的对称轴是_________,当_________时,y随x的增大而增大.  D 　向下　 　y轴　 　(0,-3)　 　<0　 　>0　 　x=1　 　x>1　 ‹#› 重点典例研析 重点1y=ax2+k的图象和性质(知系数确定图象特征) 【典例1】已知二次函数y=-x2+5. (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值; 【自主解答】(1)∵a=-<0, ∴它的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,5), 当x=0时,y最大值=5,没有最小值. (2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小关系; 【自主解答】 (2)∵抛物线的开口向下,对称轴为y轴, ∴当x>0时,y随x的增大而减小,故当x1>x2>0时,y1<y2. ‹#› (3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到吗?如果可以,写出平移的方法;如果不可以,请说明理由. 【自主解答】 (3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到,其平移方法是:将抛物线y=-x2+5向下平移6个单位长度. ‹#› 【举一反三】 1.对于抛物线y=-x2+5,下列说法不正确的是( ) A.向下平移5个单位长度可得到抛物线y=-x2 B.当x=0时,函数有最大值5 C.当x<0时,y随x的增大而减小 D.与抛物线y=x2-5关于x轴对称 C ‹#› 2.已知二次函数y=x2-5. (1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; 【解析】(1)∵二次函数y=x2-5,>0, ∴该函数图象的开口方向向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-5). (2)当x=　　时,函数有最　　值,是　　;  【解析】 (2)∵y=x2-5, ∴该函数开口向上,当x=0时,有最小值y=-5. 答案:0　小　-5 ‹#› (3)当x______时,y随x的增大而增大; 当x________时,y随x的增大而减小; 【解析】(3)∵y=x2-5, ∴该函数开口向上,当x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小. 答案:>0　<0 (4)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数y=-x2的图象? 【解析】(4)函数y=x2-5向上平移5个单位长度得到y=x2,再旋转180°得到y=-x2(或先旋转再平移). ‹#› 【技法点拨】 二次函数y=ax2+k与y=ax2图象间的关系 如图示例,二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同,位置不同.抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿y轴向上(下)平移|k|个单位长度得到.平移规律为“上加下减”. 特别提醒:二次函数图象之间平移只改变其位置,不改变其形状,故平移前后开口大小及方向不变. ‹#› 重点2y=a(x-h)2的图象和性质(根据图象平移确定系数) 【典例2】已知抛物线y=a(x-h)2向左平移两个单位长度后,所得抛物线的表达式为y=-2(x+5)2. (1)求a,h的值; 【自主解答】(1)因为平移不改变图象的形状, 所以a=-2, 抛物线y=-2(x-h)2向左平移两个单位长度得到y=-2(x-h+2)2=-2(x+5)2. 即x-h+2=x+5, 所以h=-3. ‹#› 【典例2】已知抛物线y=a(x-h)2向左平移两个单位长度后,所得抛物线的表达式为y=-2(x+5)2. (2)求出抛物线y=-2(x+5)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【自主解答】 (2)抛物线y=-2(x+5)2的图象的开口向下, 对称轴是直线x=-5, 顶点坐标是(-5,0). ‹#› 【举一反三】 1.已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小 关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 B ‹#› 2.一条抛物线经过点(1,3),若将它向右平移2个单位长度,顶点移到原点. (1)求该抛物线的表达式; 【解析】(1)由题意知,抛物线顶点为(-2,0), ∴设表达式为y=a(x+2)2. 又过点(1,3),∴3=9a, ∴a=,∴y=(x+2)2. ‹#› 2.一条抛物线经过点(1,3),若将它向右平移2个单位长度,顶点移到原点. (2)x取何值时,y随x的增大而增大?x取何值时,y随x的增大而减小? 【解析】(2)∵抛物线y=(x+2)2的对称轴为直线x=-2, ∴当x>-2时,y随x的增大而增大, 当x<-2时,y随x的增大而减小. ‹#› 【技法点拨】 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的关系 如图所示,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,只是位置不同.抛物线 y=a(x-h)2可由y=ax2沿x轴向右(左)平移|h|个单位长度.平移规律为“左加右减”. 特别提醒:抛物线左右平移,顶点的横坐标改变,纵坐标不变,故对称轴改变而最值不变. ‹#› (10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力)抛物线y=3(x+2)2的开口向( ) A.左 B.右 C.上 D.下 2.(4分·抽象能力)二次函数y=-3x2-6的最大值是_______.  素养当堂测评 C 　-6　 ‹#› 3.(8分·推理能力、几何直观)已知抛物线y=-(x-h)2,当自变量x的值满足3≤x≤7时,与其对应的函数的最大值是-1,求h的值. 【解析】∵y=-(x-h)2,顶点坐标为(h,0),-1<0, ∴在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小. ∵当3≤x≤7时,与其对应的函数的最大值是-1,∴3≤x≤7在对称轴的同侧. ①当h<3,x=3时,y取得最大值,∴-1=-(3-h)2,解得h=2或h=4(舍去); ②当h>7,x=7时,y取得最大值,∴-1=-(7-h)2,解得h=8或h=6(舍去). 综上所述,h的值为8或2. ‹#› 本课结束 ‹#› $$