专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 2．如图，在中，是斜边上的中线，于点,若°，则的面积为（  ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 5．如图，直线，直线与直线之间的距离为2，直线与直线之间的距离为4.正方形的对角线与相交于点，若顶点，，分别在直线，，上，则的面积为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，矩形中，，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（    ） A．40 B．30 C．20 D．15 7．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是(     ) A． B． C． D． 8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 9．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ） A．12 B．24 C．10 D．20 10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论： ①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②③⑤ 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ． 12．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为 ． 13．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若，，则的度数为 ． 14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是 ． 15．如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 16．如图，正方形的边长为1，点为边上任意一点（可与点或点重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最大值为 ，最小值为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8 求．（1）FC的长       （2）EC的长． 18．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    19．综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，点，且a，b满足：，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线上的两个动点． (1)求点C的坐标； (2)连接．如图，当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，若为以点E为直角的直角三角形，F为的中点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 20．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E、F分别是AD、BC边上两点，将矩形ABCD沿EF折叠，使C刚好落在AB边的中点M处，D落在N处，MN交AD于G． （1）当△AMG≌△NEG时，求△AMG的周长； （2）当AB＝6时，求BF的长． 21．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的值． 22．如图，已知，按如下步骤作图： ①分别以、为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点、； ②作直线，分别交、于点、； ③过作交于点，连接、． 求证：四边形是菱形； 当，，，求四边形的面积． 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15； （2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______； （3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上． 24．如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上．    (1)求证：． (2)现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题． ①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：． ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 25．对于平面直角坐标系中的动点和图形，给出如下定义：如果为图形上一个动点，，两点间距离的最大值为，，两点间距离的最小值为，我们把的值叫点和图形间的“和距离”，记作（，图形）. （1）如图，正方形的中心为点，.    ①点到线段的“和距离”（，线段）=______； ②设该正方形与轴交于点和，点在线段上，（，正方形）=7，求点的坐标. （2）如图2，在（1）的条件下，过，两点作射线，连接，点是射线上的一个动点，如果（，线段），直接写出点横坐标取值范围.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊平行四边形单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于或的一半，进而求四边形周长即可． 【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点， ∴，，． 又∵，， ∴四边形的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据． 2．如图，在中，是斜边上的中线，于点,若°，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形中30°所对的边时斜边的一半，可以推算出AD的长度，利用中线的性质，可以得到AB的长度,在根据边角关系，得到BC的长度，利用勾股定理求得AC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解:∵DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∵∠A=30°，DE=1 ∴AD=2， ∵DC是中线， ∴AB-4, ∴BC=2, ∴, ∴的面积为 故选D 【点睛】本题考查了中线的性质，直角三角形中边角关系和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据中线的性质得到相等的线段. 3．如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求=90°，故能判定选项B；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ． 【详解】解：四边形的对角线相交于O， ∵四边形的对角线互相平分， ∴AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形， A选项添加的条件， ∴AO=CO=BO=DO， ∴AC=2AO=BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项A能判定； B选项添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴=90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项B能判定； C选项添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形， 故选项C不能判定； D添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项D能判定． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键． 4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 【答案】D 【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接AC．   图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝20cm； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型． 5．如图，直线，直线与直线之间的距离为2，直线与直线之间的距离为4.正方形的对角线与相交于点，若顶点，，分别在直线，，上，则的面积为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】作出辅助线如图，通过证明△AED≌△DFC，得出AE=DF，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：过点A作AE⊥b，过点C作CF⊥b， ∴∠EAD+∠ADE=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， ∴∠ADE+∠CDF=90°， ∴∠EAD=∠CDF 在△AED和△DFC中， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴AE=DF=2， ∴DF2+CF2=DC2， ∴DC2=42+22=20， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法，正确作出辅助线是解决本题的关键． 6．如图，矩形中，，，点E为直线的一点，连，平移至，连接，则四边形的面积是（    ） A．40 B．30 C．20 D．15 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得、，平移至后得到的四边形是平行四边形，面积等于矩形面积，计算矩形面积即可解答． 【详解】解：∵矩形中，， ∴, ∵平移至， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的平移、平行四边形的性质与判定、矩形的性质等知识点，掌握平行四边形性质与判定是解答本题的关键． 7．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN. 【详解】如图，连接DM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵△EMC是等边三角形， ∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°， ∴∠ABM＝∠MCN＝30°， ∵ BA＝BM， MC＝CD， ∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°, ∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确； ∴MA＝MD， ∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°， ∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确; ∵∠MDN＝∠AND＝75° ∴MD=MN ∴AM＝MN，故C正确； ∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°， ∴，故D错误，故选D. 【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键. 8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，得出菱形的一个角是直角，可得出四边形是正方形，从而可得四边形和四边形都是正方形，然后根据正方形和四边形的面积之比为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 由拼接可知四边形和四边形都是正方形，，， ∴． ∵正方形和四边形的面积之比为， ∴正方形和四边形的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形和四边形都是正方形是解答本题的关键． 9．如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ） A．12 B．24 C．10 D．20 【答案】D 【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出. 【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12 ∴AQ=4 由翻折可知，AQ⊥BP 由勾股定理，得BC=AB==5 ∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20 故选：D 【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键. 10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论： ①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可． 【详解】解：在正方形ABCD中， AB=AD，∠BAD=90°， ∵AE⊥AP， ∴∠EAP=90°， ∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP， ∴∠EAB=∠DAP， 在△APD与△AEB中， ， 故①正确； ∵△APD≌△AEB， ∴∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠AED， ∴∠AEB-∠AED=∠EAD-∠EAB， ∴∠BED=∠BAD=90°， ∴BE⊥ED， 故③正确， 过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F， ∵∠EAP=90°， AE=AP， ∴∠AEP=45°， ∵∠FEB+∠AEP=90°， ∠FEB+∠EBF=90°， ∴∠AEP=∠EBF=45°， ∴EF=BF， ∵AE=AP=1， ∴由勾股定理可求得：， ， ∴由勾股定理可求得：， ∵， ∴， 故②错误， ∵， ∴， ∴由勾股定理可知：， 故⑤正确； ∵△APD≌△AEB， ∴S△APD=S△AEB， ∴S△APD+S△APB =S△AEB+S△APB =S△AEP+S△PEB =． 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键． 12．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移的距离为 ． 【答案】 【分析】设直线的解析式为，将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，得到直线的解析式为，再求出当时的值，即为平移的距离． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 四边形是正方形， ， ， 设正方形沿轴向右平移，点落在边上的点处， 点与点的纵坐标相同， ， 把代入，得， 解得， 平移的距离是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、正方形的性质、平移的性质等知识，正确地求出直线的解析式是解题的关键． 13．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若，，则的度数为 ． 【答案】35° 【分析】由菱形的性质可得BC=CD，即可求解． 【详解】解：∵∠MCB=52°，∠DCN=18°， ∴∠BCD=110°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD， ∴∠BDC=35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E，F，则△GEF的面积最大值是 ． 【答案】30 【分析】经分析，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，根据折叠性质可知，，根据勾股定理可求得，再根据矩形的性质可知，则可得，即可求得△GEF的面积最大值． 【详解】解：如图，在折叠过程中△GEF的高不变，底边GE随着G点运动越接近A点越大，故当点G与点A重合时，△GEF的面积最大， 由折叠可知，，， 在中，， 即，解得， ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴△GEF的面积最大值为：． 故答案为：30 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质、定理是解题关键． 15．如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 【答案】． 【详解】试题分析：如图1，连接AC，∵菱形ABCD的边长是，∠A=60°，则BD=AB=，AO=OB，∴AC=2AO=OB=BD==，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴，又∵EG=AE，∴，解得EG=，∴EG的长为．故答案为． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．综合题． 16．如图，正方形的边长为1，点为边上任意一点（可与点或点重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 2 【分析】连接、，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，根据已知得出， 代入求出即可． 【详解】解：连接、， ， 由勾股定理得：， ， ， 和的边上的高， ， ， ， ， ， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用．主要考查学生运用性质进行计算能力，题目比较好，但是一道比较难的题目． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8 求．（1）FC的长       （2）EC的长． 【答案】（1）4；（2）3 【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC＝10，∠B＝90°，根据折叠可得AD＝AF＝10，再利用勾股定理可得BF长，进而可得FC长； （2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，再在Rt△EFC利用勾股定理可得方程x2＝（8﹣x）2+42，解出x的值，进而可得EC长． 【详解】解：（1）根据折叠可得AD＝AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，∠B＝90°， ∴AF＝10， ∴BF＝， ∴FC＝4； （2）根据折叠可得ED＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，∠C＝90°， 设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2， x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， ∴EC＝8﹣5＝3． 【点睛】本题考查矩形折叠的问题,关键在于熟记矩形和图形折叠的性质. 18．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    【答案】（1）作图见解析；（2）∠BCF=67.5°. 【分析】（1）作∠CBD的角平分线即可． （2）证明BF＝BC，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，点E即为所求． （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD． ∴∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠BFE＝90°． 由（1）得EF＝EC，BE＝BE， ∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL） ∴BC＝BF． ∴∠BCF＝∠BFC， ∴∠BCF＝(180°−∠FBC)＝67.5°．    【点睛】本题考查作图−复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 19．综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，点，且a，b满足：，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线上的两个动点． (1)求点C的坐标； (2)连接．如图，当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，若为以点E为直角的直角三角形，F为的中点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)点C（4，0） (2)EF=OF，EF⊥OF 【分析】（1）利用二次根式有意义条件列不等式组得出，，然后求出点B坐标，利用轴对称性质求即即可； （2）先证△AOB为等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，然后利用直角三角形斜边中线性质，以及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足：， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴点B（-4，0）， ∵点C与点B关于y轴对称， ∴点C（4，0）； （2）解：结论：EF=OF，EF⊥OF． ∵点A（0,4）， ∴OA=OB=4， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠BAO=45° ∵当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，为直角三角形， ∴PE⊥AB， ∵F为的中点，点E为直角，AP为Rt△AEP的斜边，EF为中线，也是Rt△AOP的斜边，OF为中线， ∴EF=AF=，OF=AF=， ∴EF=OF， ∵EF=AF，AF=OF， ∴∠AEF=∠EAF，∠FAO=∠FOA， ∵∠EFP为△AEF的外角，∠OFP为△OEF的外角， ∴∠EFP=2∠EAF，∠OFP=2∠OAF， ∵∠EFO=∠EFP+∠OFP=2∠EAF+2∠OAF=2（∠EAF+∠OAF）=2∠EAO=90°， ∴EF=OF，EF⊥OF． 【点睛】本题考查二次根式有意义条件，轴对称性质，等腰直角三角形判定与性质，直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，本题难度适中，是小综合题． 20．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E、F分别是AD、BC边上两点，将矩形ABCD沿EF折叠，使C刚好落在AB边的中点M处，D落在N处，MN交AD于G． （1）当△AMG≌△NEG时，求△AMG的周长； （2）当AB＝6时，求BF的长． 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）由全等三角形的性质可得AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE，由折叠的性质可得ED＝EN＝AM，即可求解； （2）在Rt△BFM中，利用勾股定理可求BF的长． 【详解】解：（1）∵△AMG≌△NEG， ∴AG＝GN，AM＝NE，GM＝GE， ∵将矩形ABCD沿EF折叠， ∴ED＝EN＝AM，∠B=90° ∴△AMG的周长＝AM+AG+GM＝AG+GE+DE＝AD＝BC＝8； （2）∵将矩形ABCD沿EF折叠， ∴MF＝CF， ∵点M是AB中点， ∴AM＝BM＝3， 在Rt△BFM中MF2＝BF2+MB2， ∴（8﹣BF）2＝BF2+9， ∴BF＝． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，矩形的性质，以及勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠得出，，，根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，根据菱形的面积，即可求出结果． 【详解】（1）证明：沿直线折叠，点与点重合， ，，， 四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：， ， ， 又四边形是菱形， 菱形的面积， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 22．如图，已知，按如下步骤作图： ①分别以、为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点、； ②作直线，分别交、于点、； ③过作交于点，连接、． 求证：四边形是菱形； 当，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24. 【分析】（1）由根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形； （2）由∠ACB=90°，BC=6，AB=10，可求得AC的长，易得DO是△ABC的中位线，又由四边形ADCE是菱形，即可求得答案． 【详解】证明：∵根据题意得：是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为：． 【点睛】考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键. 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15； （2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______； （3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AE=，BF=；（3）见解析 【分析】（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可． （2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可． （3）根据矩形的定义画出图形即可． 【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求． （2）如图2中，菱形ABEF即为所求．AE=， BF=； （3）如图3中，矩形ABMN即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上．    (1)求证：． (2)现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题． ①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：． ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后利用证明即可； （2）①首先根据题意证明出，然后得到，然后利用三角形内角和定理即可得到，进而证明出； ②根据题意分三种情况讨论：点在直线上，点在直线上和点在直线上，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）在正方形和正方形中， ，，， ． （2）①证明：， ， ． ，， ， ． ， ， ． ②解：在正方形中， 平分， ， 根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类： Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则， ， ，， ， ．    Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分， ， ，， ，，三点共线， ．    Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点， ， ， ，， ， ．    综上所述：为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25．对于平面直角坐标系中的动点和图形，给出如下定义：如果为图形上一个动点，，两点间距离的最大值为，，两点间距离的最小值为，我们把的值叫点和图形间的“和距离”，记作（，图形）. （1）如图，正方形的中心为点，.    ①点到线段的“和距离”（，线段）=______； ②设该正方形与轴交于点和，点在线段上，（，正方形）=7，求点的坐标. （2）如图2，在（1）的条件下，过，两点作射线，连接，点是射线上的一个动点，如果（，线段），直接写出点横坐标取值范围.    【答案】（1）①；②的坐标为和；（2）. 【分析】（1）①根据“和距离“的定义计算：OE是两点间距离的最小值，OA是两点间的最大值，相加可得结论；②分两种情况：P在y轴的正半轴和负半轴上，根据“和距离“的定义，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程计算即可； （2）分M在线段CD上和延长线上两种情况，利用“和距离”的定义列方程可得结论． 【详解】（1）①如下图所示，连接OA，    ∵四边形ABCD是正方形，且A（3，3）， ∴， ∴ 即d（O，线段AB）= 故答案为； ②如下图所示，设，    ∵点在线段上， ∴. 当时，由题意可知，. ∴，，. ∵（，正方形）， ∴. ∴. 在中，由勾股定理得， 解得. ∴. 当时，由对称性可知. 综上，的坐标为和. （2）分两种情况： ①当-3≤t<3时，如下图所示，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM，    ∵M点横坐标是t， ∴CM=t+3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD=45°， ∴△CMN是等腰直角三角形， ∴MN=CM=， ∴（，线段）=MN+MA=， ②当t≥3时，如下图所示，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N，    同理可得MN=CM=， ∴（，线段）=MN+CM=， ∵M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大， ∴ 解得：， 解得：， ∴点横坐标的取值范围是. 【点睛】本题考查正方形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义，注意解题过程中运用数形结合和分类讨论思想. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$