专题05 一元二次方程单元过关（基础版）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 一元二次方程单元过关（基础版） 考试范围：第二十一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若2是方程 x2c0 的一个根，则它的另一个根是（    ） A．-2 B．4 C．2 D．-4 2．方程的两根分别为，则等于（    ） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 3．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B．2 C． D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A． B． C． D． 6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感． 设每轮传染中平均一人传染了个人，依题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．对于实数，，定义运算“”如下：，例如：，则方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则代数式2017+b﹣a的值等于（　　） A．2014 B．2015 C．2016 D．2019 9．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．当 时，代数式与的值相等． 12．电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 13．一元二次方程根的判别式的值为 ． 14．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ． 15．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．如图，在矩形中，，为上一点，将 沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交 于，交的延长线于，若，则 的长为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．解方程： (1)x2－x－1＝0；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(x－2)2＝2x－4． (3)2x2－4x－9＝0．(配方法) 18．如图，某学校打算把一块长、宽的长方形空地修建成一个学校校史馆，面向全体师生校友和社会大众，展示学校建校的发展历程，若三面修成宽度相等的花砖路，中间空地的面积是，请计算花砖路面的宽度． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n的取值范围． 20． 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 21．已知关于的一元二次方程. （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值 22．已知某水果店第一次售出苹果和芒果共千克，其中苹果的售价为元／千克，芒果的售价为元／千克，总销售额为元． (1)求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克； (2)通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现与第一次相比，芒果的售价每降低元，销量就增加千克，如果第二次的芒果全部售完的总销售额为元，求第二次芒果的售价． 23．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”．如方程，，，，，都是“偶系二次方程”． (1)判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由； (2)对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由． 24．观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题． (1)第4个图形对应的等式为______． (2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值． 25．先阅读，再解题 若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“倍根方程”．例如的两根为，，因为是的倍，所以是“倍根方程”． （1）说明是“倍根方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，其中是整数，试探索的取值条件． 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【详解】试题分析：由题意方程两边都加上一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解因式即可. 故选A. 考点：配方法解一元二次方程 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，即可完成. 6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感． 设每轮传染中平均一人传染了个人，依题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设每轮传染中平均一人传染了个人，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人，依题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 7．对于实数，，定义运算“”如下：，例如：，则方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可. 【详解】解：根据题意得可以变形为： 提公因式可得： 化简得： 根据根的判别式可知该方程没有实数根. 故选A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根. 8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则代数式2017+b﹣a的值等于（　　） A．2014 B．2015 C．2016 D．2019 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入方程得到b-a=-2，然后利用整体代入的方法计算2017+b﹣a的值 【详解】解：把x=−1代入得a−b−2=0， 则b−a=−2， 所以2017+b−a=2017−2=2015. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】A选项：时，方程就不是二次方程，故A错误； B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误； C选项：整理得：，符合一元二次方程的定义，故C正确； D选项：整理得：，故D错误． 综上所述． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．当 时，代数式与的值相等． 【答案】1 【分析】根据题意得出=x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得． 【详解】解：根据题意得=x-1， 整理得：， ∴， 解得：x=1 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的增长率是，列方程为， 故答案为：． 13．一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的系数与判别式的关系，易得△ = b2– 4ac =（-1）2 – 4×1×0 =1． 【详解】解：在一元二次方程中， a= 1， b = -1 ，c = 0， 根据一元二次方程的系数与判别式的关系得， △ = b2– 4ac =（-1）2 – 4×1×0 = 1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的系数与判别式的关系，运用△ = b2– 4ac进行计算即可． 14．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ． 【答案】-2020 【分析】利用根与系数的关系求出a+b，ab的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根， ∴a+b=-1，ab=-2022， 则原式=ab-a-b+1=ab-（a+b）+1=-2022+1+1=-2020． 故答案为：-2020． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 15．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且． 【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围． 【详解】∵，． ∴一元二次方程为． ∵一元二次方程有实数根， ∴且． 【点睛】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系． 16．如图，在矩形中，，为上一点，将 沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交 于，交的延长线于，若，则 的长为 ． 【答案】． 【分析】根据沿折叠得，得到 ，过点作交于点 ，根据 是的平分线，得，根据 ， ，可得，设，则，，根据勾股定理，求解即可得到答案． 【详解】解：∵将沿折叠得， ∴， 如图示，过点作交于点， ∵是的平分线 ∴， 又∵， ， 可得：，即 ， 设，则，， 在中，， 即：， 解之得：，负值已舍去， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是折叠的性质，角平分线的性质，等积法，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．解方程： (1)x2－x－1＝0；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(x－2)2＝2x－4． (3)2x2－4x－9＝0．(配方法) 【答案】（1）；（2）x1＝2，x2＝4；（3）x1＝1＋，x2＝1－ 【分析】（1）公式法求解即可 （2）将等号右边移项，然后用因式分解法求解 （3）先化二次项系数为1，然后移动常数项在等号右边，进行配方求解． 【详解】解：（1）)x2－x－1＝0 ∴ （2）(x－2)2＝2x－4 x1＝2，x2＝4 （3）2x2－4x－9＝0 x1＝1＋，x2＝1－ 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，其中公式法，因式分解法，配方法是重点掌握内容，掌握各种解法是本题的关键。 18．如图，某学校打算把一块长、宽的长方形空地修建成一个学校校史馆，面向全体师生校友和社会大众，展示学校建校的发展历程，若三面修成宽度相等的花砖路，中间空地的面积是，请计算花砖路面的宽度． 【答案】1m 【分析】根据题意可知中间空地的长m，宽，列方程即可． 【详解】解：设花砖路面的宽度为m，则中间空地的长m，宽m，则 ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：花砖路面的宽度为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意表示出中间空地的长和宽． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n的取值范围． 【答案】 【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0， 解得m＞﹣1． 即m的取值范围为m＞﹣1 ∵n+2m＝4 ∴ ∴n=， 即n的取值范围为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 20． 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】（1）C；（2）x1=-1，x2=3． 【分析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0，求出y，把y的值代入x2-2x=y，求出x即可． 【详解】解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． 21．已知关于的一元二次方程. （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值 【答案】（1）；（2）实数的值是1. 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可； （2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据x12+x22=16+x1x2求解即可. 【详解】（1）由题意得 当时，原方程有实数根，， ; （2）由韦达定理得，   ， 解得   （舍去） 实数的值是1. 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根与系数的关系，是解题的关键. 22．已知某水果店第一次售出苹果和芒果共千克，其中苹果的售价为元／千克，芒果的售价为元／千克，总销售额为元． (1)求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克； (2)通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现与第一次相比，芒果的售价每降低元，销量就增加千克，如果第二次的芒果全部售完的总销售额为元，求第二次芒果的售价． 【答案】(1)水果店第一次售出苹果千克，售出芒果千克； (2)第二次芒果的售价为元/千克． 【分析】（）设水果店第一次售出苹果千克，售出芒果千克，根据某水果店第一次售出苹果和芒果共千克且总销售额为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （）设第二次芒果的售价为元/千克，则第二次售出芒果[]千克，根据总价=单价×数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设水果店第一次售出苹果千克，售出芒果千克，依题意得： ， 解得，答：水果店第一次售出苹果千克，售出芒果千克． （2）设第二次芒果的售价为元/千克，则第二次售出芒果[]千克，依题意得：， 整理，得：， 解得：， 答：第二次芒果的售价为元/千克． 【点睛】此题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系，正确列出二元一次方程组及一元二次方程是解题的关键． 23．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”．如方程，，，，，都是“偶系二次方程”． (1)判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由； (2)对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)存在．理由见解析 【分析】（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论； （2）由条件x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论． 【详解】（1）解：不是， 解方程得，，， ， ∵不是整数， ∴不是“偶系二次方程； （2）解：存在．理由如下： ∵和是偶系二次方程， ∴假设， 当，时， ， ∵是偶系二次方程， ∴时，， ∴， ∵是偶系二次方程， 当时，， ∴可设， 对于任意一个整数b，时， ， ∴， ∴，， ∴， ∵b是整数， ∴对于任何一个整数b，时，关于x的方程是“偶系二次方程”． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程-因式分解法、根的判别式等，读懂题意，能够根据条件特征建立模型是解题的关键． 24．观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题． (1)第4个图形对应的等式为______． (2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题目所给的式子写出第4个图形对应的等式即可； （2）找到规律得到第n个图形对应的黑点为，由此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个图形对应的等式为， 故答案为： （2）解：根据题意可得第n个图形对应的黑点为， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴n的值为10． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键． 25．先阅读，再解题 若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“倍根方程”．例如的两根为，，因为是的倍，所以是“倍根方程”． （1）说明是“倍根方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，其中是整数，试探索的取值条件． 【答案】（1）见解析；（2）条件是奇数和 【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可；（2）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义探索m的取值条件． 【详解】（1）是倍根方程，理由如下： ， 或， ， 是的倍 是倍根方程； （2）解关于的一元二次方程 ， ， 或 ，， 关于的一元二次方程 是倍根方程，其中是整数， 的取值条件是奇数和 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$