专题04 勾股定理单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 勾股定理单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，， 2．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是(　　) A．1 B．2 C．12 D．13 3．如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（    ） A．36 B．25 C．16 D．6 4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　） A． B．2 C．3 D．6 6．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（    ） A．13 B．15 C．13或15 D．13或 7．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．图中的点均为大小相同的小正方形的顶点，对于所画的两个四边形，下列叙述中正确的是（　　） A．这两个四边形的面积和周长都相同 B．这两个四边形的面积和周长都不相同 C．这两个四边形的面积相同，但周长不相同 D．这两个四边形的周长相同，但面积不相同 9．如果直角三角形的三条边为3、4、a，则a的取值可以有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（　　） A．10 B．4 C． D．2 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形的面积分别是9和4，则最大正方形的面积是 ． 12．平面直角坐标系中A（0，3），B（﹣4，0），AB两点之间的距离是 ． 13．如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 14．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为 寸．    15．如图，中，于点O．． （1）求的长为 ； （2）若点D是线段上的一个动点，作于点E，连结．若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的的长为 ．    16．如图，在△ABE中，∠B=60°，AB=8，C、D分别是△ABE的边AE延长线上和边BE延长线上两点，连接CD，∠A-∠C=60°，AB=CD，DE=6，则线段AC的长度等于 . 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？    18．国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）作线段，使其长度为； （2）通过计算说明是直角三角形． 20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x． （1）请求出AC+CE的最小值． （2）请构图求出代数式+的最小值． 21．在等腰直角三角形中，，．点是射线上一个动点，连接，以为边在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如图，当点在线段上时， ①探究与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②直接写出线段，，之间的数量关系； （2）如图，当点在的延长线上，时，______ 22．（1）如图1，在中， 为 边上的中线，延长至E，使 ，连接BE．求证：． （2）如图2，在中，，，D为的中点， ．求 的面积． 23．如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点． （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之； （2）求BE的长． 24．已知Rt△ABC中，∠C=90˚，AC=4，BC=8．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线CB方向运动，连接AP．设运动时间为t s． （1）求斜边AB的长． （2）当t为何值时，△PAB的面积为6？ （3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离． 25．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； B．，故此选项能构成直角三角形，符合题意； C．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； D．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知直角三角形三边的关系是解本题的关键． 2．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是(　　) A．1 B．2 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解． 【详解】根据勾股定理可得a2+b2=13 四个直角三角形的面积是：ab×4=13−1=12，即：2ab=12 则(a−b)2=a2−2ab+b2=13−12=1 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，证得a2+b2等于大正方形的面积是解决问题的关键 3．如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（    ） A．36 B．25 C．16 D．6 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由图可知，是直角三角形， ∴， ∵正方形B的面积，正方形C的面积，正方形A的面积， 正方形B的面积为64，正方形C的面积为100， ∴正方形A的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2=5，从而解决问题． 【详解】解：在△ABC中，∠B=90°， 由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5， ∵四边形ADEC是正方形， ∴S正方形ADEC=AC2=5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】分析：过点B作BE⊥AC于点E，设BE＝x，分别用含x的式子表示出DE，CD，用CE＝CD＋DE列方程求x，在Rt△ABE中用勾股定理求解. 详解：过点B作BE⊥AC于点E，设BE＝x， 因为∠ADB＝45°，∠C＝30°，所以DE＝x，CE＝x， 则x＋3＝x，解得x＝. 所以AE＝AD－DE＝3－. Rt△ABE中，由勾股定理得： AB＝    ＝    ＝3. 故选C. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，斜三角形中，根据边角的关系求线段长时，一般需要作三角形的高构造直角三角形，特别是要用好其中的45°，30°，45°的直角三角形中，三边的比是1：1：，30°角的直角三角形中，三边的比是1：：2. 6．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（    ） A．13 B．15 C．13或15 D．13或 【答案】D 【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可． 【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， ②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， 综上所述，第三边的长为13或， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系进行分类讨论是解题的关键． 7．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC、AB，则AC：BC：AB的值可求出． 【详解】解：如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF， ∵∠ACB=90°， ∴， 又在Rt△中，AD＞AC＞BC， ∴满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线， 设AC=2a，则 在Rt△BCE中∠BCE=90°， ∴ 在Rt△ABC中， ∴AC：BC：AB= 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题． 8．图中的点均为大小相同的小正方形的顶点，对于所画的两个四边形，下列叙述中正确的是（　　） A．这两个四边形的面积和周长都相同 B．这两个四边形的面积和周长都不相同 C．这两个四边形的面积相同，但周长不相同 D．这两个四边形的周长相同，但面积不相同 【答案】C 【分析】根据勾股定理、周长公式、面积公式计算每个图形的周长和面积，然后进行比较． 【详解】解：如图， 设每相邻两个点间的距离是1． 则①的周长=2+2，①面积=1×1=1； ②的周长=1+2+，②的面积==1． 综上所述，这两个四边形的面积相同，但周长不相同． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的周长和面积计算，勾股定理．注意数形结合在解题中的应用． 9．如果直角三角形的三条边为3、4、a，则a的取值可以有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a是直角边还是斜边. 【详解】解：当a是直角三角形的斜边时, ； 当a为直角三角形的直角边时,． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（　　） A．10 B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长． 【详解】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝2，BE＝5，求AB的长． 设AC＝x，BC＝y， 根据勾股定理得： 在Rt△ACD中，x2+（y）2＝（2）2， 在Rt△BCE中，（x）2+y2＝52， 解之得，x＝6，y＝4， ∴在Rt△ABC中， ， 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度. 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形的面积分别是9和4，则最大正方形的面积是 ． 【答案】13 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为9和4， ∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方， 则 根据勾股定理可得： =9+4 =13 ， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 12．平面直角坐标系中A（0，3），B（﹣4，0），AB两点之间的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求解． 【详解】解：∵A（0，3），B（﹣4，0）， ∴AB＝＝5， ∴点A，B之间的距离是5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查坐标与图形、勾股定理的运用，解题的关键是熟知两点坐标的距离公式． 13．如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 【答案】5或20 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 14．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为 寸．    【答案】101 【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：过作于，    设， 则，，， 在中，可有，即， 解得， 所以门的宽度的和为101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键． 15．如图，中，于点O．． （1）求的长为 ； （2）若点D是线段上的一个动点，作于点E，连结．若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的的长为 ．    【答案】 4或． 【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； 【详解】解：（1）， ， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ； 故答案为： （2）分两种情况： ①当时，过O作于N，如图1所示：    ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； ②当时，如图2所示：    在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或； 故答案为：4或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、分类讨论等知识． 16．如图，在△ABE中，∠B=60°，AB=8，C、D分别是△ABE的边AE延长线上和边BE延长线上两点，连接CD，∠A-∠C=60°，AB=CD，DE=6，则线段AC的长度等于 . 【答案】 【分析】过点A 作AF∥CD交BE于点F，AG⊥BD，交BD于点G，由AF∥CD得出 ∠FAE=∠ECD，进而得出△ABF为等边三角形，再通过证明△AEF≌△CED，得出EF=DE=6，求出AG的长，在Rt△AGE中，利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，过点A 作AF∥CD交BE于点F，AG⊥BD，交BD于点G， ∵AF∥CD， ∴∠FAE=∠ECD， ∵， ∴∠BAF=60°， ∵∠B=60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AB=AF， ∵AB=CD， ∴AF=CD， 又∵∠FAE=∠ECD，∠AEF=∠CED， ∴△AEF≌△CED， ∴EF=DE=6， ∵AB=8，BG=4， ∴， ∴， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形，再利用勾股定理解题. 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？    【答案】米． 【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，    由题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：梯子的底端将向右滑动米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 18．国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 【答案】不超速，理由详见解析 【分析】根据勾股定理求出BC的长，进而求出小汽车的时速即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得： BC＝（米）； 60÷4＝15米/秒＝54千米/小时＜60千米/小时， 所以不超速． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键． 19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）作线段，使其长度为； （2）通过计算说明是直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据网格特点和勾勾定理作图即可； （2）根据勾股定理及其逆定理解答即可； 【详解】解：（1）如图， AD=； （2）∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．反之亦成立． 20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x． （1）请求出AC+CE的最小值． （2）请构图求出代数式+的最小值． 【答案】（1）10；（2）+的最小值为13 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知：AE的长即为AC+CE的最小值，然后利用勾股定理求值即可； （2）先将代数式利用配方法变形，如解图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12－x，根据勾股定理可证+的最小值即为AC＋CE的最小值，过点A作AF⊥ED，交ED延长线于F，利用勾股定理求出AE即可． 【详解】解：（1）过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于F，连接AE 根据题意可得BF=DE=1，EF=BD=8 ∴AF=AB＋BF=6 根据两点之间线段最短可得：AC+CE≥AE，即AE的长即为AC+CE的最小值， 在Rt△AEF中，AE= 即AC+CE的最小值为10； （2）+ =+ =+ 如下图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，设BC=x，则CD=12－x ∴AC=，CE= ∴+的最小值即为AC＋CE的最小值 由（1）可知：AE即为AC＋CE的最小值 过点A作AF⊥ED，交ED延长线于F ∴AF=BD=12，DF=AB=2 ∴EF=DF＋DE=5 在Rt△AEF中，AE= 即+的最小值为13． 【点睛】此题考查的是最短路径问题和勾股定理的应用，利用数形结合，构造适当的直角三角形是解题关键． 21．在等腰直角三角形中，，．点是射线上一个动点，连接，以为边在的右侧作等腰直角三角形，，． （1）如图，当点在线段上时， ①探究与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②直接写出线段，，之间的数量关系； （2）如图，当点在的延长线上，时，______ 【答案】（1）①，，理由见解析；②（2） 【分析】（1）根据已知条件，证明，根据全等三角形的性质即可得出，求出∠BCE，得出； （2）由（1）得，，根据已知条件和勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）①，． 理由：， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； ②； （2）由（1）得，，即△CDE为直角三角形， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， ∴CD=BC+BD=4+1=5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：． ∴DE=． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用． 22．（1）如图1，在中， 为 边上的中线，延长至E，使 ，连接BE．求证：． （2）如图2，在中，，，D为的中点， ．求 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）30． 【分析】（1）由 为 边上的中线得，根据SAS即可证明； （2）根据得 ，，进而利用勾股定理即可求得，从而即可求解． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵ 为 边上的中线， ∴， 在 和中， ， ∴      （2）解：如图2中，延长 到T，使得 ，连接 ．     由（1）可知，    ∴ ，， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点． （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之； （2）求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）延长交于点，通过全等三角形判定，即可求解； （2）根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，如下图： ∵ ∴ ∵E是AD的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）由（1）得，∴ ∵CD＝2AB＝12， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 24．已知Rt△ABC中，∠C=90˚，AC=4，BC=8．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿射线CB方向运动，连接AP．设运动时间为t s． （1）求斜边AB的长． （2）当t为何值时，△PAB的面积为6？ （3）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时点Q到边BC的距离． 【答案】（1）AB=；（2）或；（3），点Q到边BC的距离是． 【详解】试题分析：根据勾股定理即可求出. 分点在 点左侧与右侧两种情况进行讨论即可； 作△PAB中AP边上的高BQ，先根据定理得出 再由勾股定理得出的值，进而可得出结论． 试题解析： 在Rt△ABC中，∠C=90˚，AC=4，BC=8， (2) AC=4，BC=8， ∵△PAB的面积为6， ∴PB=3. ∵CP=2t， ∴当点P在点B的左侧时，PB=8−2t；当点P在点B的右侧时，PB=2t， 或 (3)作△PAB中AP边上的高BQ， 在△ACP与△BQP中， 在中， ,即 解得 ∴当时， 根据等面积法求出点Q到边BC的距离： 25．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图：   是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：   为的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 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