专题03 勾股定理单元过关（基础版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 勾股定理单元过关（基础版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，已知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（   ） A．100 B．121 C．64 D．25 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 3．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（  ） A．1.0 米 B．1.25 米 C．1.2 米 D．1.5 米 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则BC=(    ) A．6      B．8      C．10 D． 5．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 6．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．若实数m、n满足且m、n恰好是Rt△ABC的两条直角边长，则第三条边长为（    ） A．10 B． C．10或 D．以上均不对 8．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1 B．2020 C．2021 D．2022 9．如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（    ）    A．或 B． C． D． 10．如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（   ） A． B． C．5 D．3 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 12．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．    13．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 14．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”    译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．    16．如图，OP=1，过P作，使；再过作，使；又过作，使…依此法继续作下去，得= ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 18．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 19．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 解答下列问题： （1）请用含、、的代数式表示大正方形的面积. 方法1： ；方法2： . （2）根据图2，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式. （3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积. 20．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 21．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，， (1)请在网格中画出； (2)过点C作于D，求的长． 22．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 23．为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度． 24．如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东30°方向． (1)求小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度． (2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，求AD的距离(精确到1海里)．(≈2.65) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理单元过关（基础版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，已知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（   ） A．100 B．121 C．64 D．25 【答案】D 【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，可得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：根据题意知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169， 则字母A所代表的正方形的面积=169-144=25． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（  ） A．1.0 米 B．1.25 米 C．1.2 米 D．1.5 米 【答案】A 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，先证明四边形BEDC是矩形，求出DE和AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°， 由题意知，∠DCB＝∠B＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米， ∵AB＝2.3米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则BC=(    ) A．6      B．8      C．10 D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理直接进行计算即可. 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8， ∴BC， 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键. 5．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D 6．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．若实数m、n满足且m、n恰好是Rt△ABC的两条直角边长，则第三条边长为（    ） A．10 B． C．10或 D．以上均不对 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理及分类思想的应用．由非负数的性质可得、的值，再用勾股定理求出第三条边长． 【详解】解： ，， ，， 当、为直角边时，第三边长是， 综上所述，第三条边长为10， 故选：A． 8．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：SA=1， 由勾股定理得：SB＋SC=1， 则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得： “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 9．如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（    ）    A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为，则三个半圆的半径分别为 由勾股定理得：即 故选：． 10．如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】由勾股定理求出，设，运用等积法可求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：中，，，． ∴， 设， ∵ ∴， 解得． 中， ∴ 的长为． 故选A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】20 【分析】由勾股定理求出即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 正方形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．    【答案】4 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果． 【详解】解：依据题意可得：， ， 少走了， 2步为1米， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 13．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 14．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可． 【详解】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端C离墙的距离尺， 在中， ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”    译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．    【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为尺，则折断处到竹子的根部为尺．利用勾股定理列式即可． 【详解】如图，， 设竹梢到折断处的长度为尺，即斜边， 则， 依题意得：， 即：， 故答案为：，    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 16．如图，OP=1，过P作，使；再过作，使；又过作，使…依此法继续作下去，得= ． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理分别求出、、．．．，依次类推找到规律，即可求解． 【详解】∵，OP=1，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有， ．．． 依次类推，可知， 即， 即当n=2015时，有， 故答案为：． 【点睛】本题属于图形规律探索题，涉及勾股定理的知识，找到是解答本题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 【答案】此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形， ∴ 答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 18．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】尺 【分析】设折断处离地的高度为尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设折断处离地的高度为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得， 答：折断处离地的高度为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 19．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 解答下列问题： （1）请用含、、的代数式表示大正方形的面积. 方法1： ；方法2： . （2）根据图2，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式. （3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积. 【答案】（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【分析】（1）方法1、根据正方形面积公式求出即可； 方法2、根据大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即可得出答案； （2）根据大正方形面积相等，即可得出等式； （3）由大正方形的面积是25可得=25，利用完全平分公式，可得 ，则2ab=24，根据小正方形的面积 ，即可解答． 【详解】解：（1）方法1：大正方形的边长是，面积是 ， 方法2：大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即  ； （2）= = ； （3）∵正方形的面积是25， ∴=25， ∵ ∴，2ab=24， ∴小正方形的面积：=25-24=1. 故答案为（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【点睛】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，此类题目，根据同一个图形的面积的两种表示方法列式是解题的关键． 20．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速了. 【分析】根据勾股定理计算出BC的长度，然后运用速度=路程÷时间计算出速度，再跟70千米/小时进行比较. 【详解】由题意可知： 三角形ABC为直角三角形，则(米) 速度=120÷4=30（米/秒），30×3.6=108（km/h）＞70（km/h） 故小汽车超速了. 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题中需要注意速度单位的换算，1m/s=3.6km/h. 21．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，， (1)请在网格中画出； (2)过点C作于D，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用勾股定理及数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，先作，再作取点，使，， 即为所求； （2）解:如图， 边上的高为2， ， ， 解得：． 答：的长为． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 【详解】（1）S梯形ABCD= ，S梯形ABCD= ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2 即a2＋b2=c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为=5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝   故答案为； （3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2， ∴边长为a−2b， 由此可画出的图形如下： 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 23．为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意知米， 设旗杆的高度为x米，则（米）， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米. 答；旗杆的高度为12米． 24．如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东30°方向． (1)求小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度． (2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，求AD的距离(精确到1海里)．(≈2.65) 【答案】(1)小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是60海里；(2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里． 【分析】（1）如图，直角△ACE和直角△ABE有公共边AE，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AE表示出CE与BE，根据CB=BE-CE即可列方程，从而求得AE的长，然后根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）求得BE=90海里，则DE=10海里，在直角△AED中，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于点E， 则有∠ABE＝30°，∠ACE＝60°． ∴∠CAB＝∠ABE， ∴BC＝AC＝60海里． 在Rt△ACE中，设CE＝x海里， 则AC＝2x，AE＝＝x， 在Rt△ABE中，AB＝2AE＝2x， BE＝＝3x， 又∵BE＝BC+CE， ∴3x＝60+x， ∴x＝30． ∴AE＝x＝30(海里)， ∴AB＝2AD＝60 (海里)， 答：小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是60海里． （2）由（1）知，AE＝30海里，BE＝90海里，则ED＝(40+60)﹣90＝10(海里)． ∴在直角△AED中，利用勾股定理得：AD＝＝＝200≈200×2.65＝530(海里)． 答：若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$