专题05 三角形单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 三角形单元过关（培优版） 考试范围：第十一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．五边形的外角和为（    ） A．180° B．360° C．450° D．540° 2．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（    ） A． B． C． D．1440 3．正多边形的每个内角都等于135°，则该多边形是正（    ）边形． A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，，，，点在上，点在上，则的度数为(    )    A． B． C． D． 5．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　） A．141° B．144° C．147° D．150° 6．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 9．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，正八边形的两条对角线、相交于点P，则的度数为 . 12．如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ． 13．如图，△ABC的面积为24，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是 . 14．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠1+∠2+∠3＝ ． 15．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为 度． 16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    评卷人 得分 三、解答题 17．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线． (1)求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由． 证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，(已知) ∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E(_________) ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1(等式的性质) ∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线(已知) ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1(_______) ∴∠A＝2∠2﹣2∠1(_________) ＝2(∠2﹣∠1)(_________) ＝2∠E(等量代换) (2)如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB． 18．如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． (1)AD与EF平行吗？请说明理由； (2)试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由． 19．回答下列问题：        （1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，，的度数=________（直接写出答案）． （2）如图②，四边形ABCD中，设，，为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若，求的度数（用，的代数式表示，写出详细过程）． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF． (1)求∠CBE的度数． (2)若∠F＝27°，求证：BEDF． 21．已知在中，、、的对边分别为a、b、c． (1)化简代数式：______． (2)若，，求的各内角度数． 22．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 23．【生活常识】射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． （1）如图2，若，，则的度数为 ． （2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数． （3）如图4，光线与所在的直线相交于点，，，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． 24．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究：    (1)如图1，若点C在直线上，且，求的度数； (2)若点A在直线上，点C在和之间（不含和上），边、与直线分别交于点D和点K． ①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围． 25．如图：点C在线段BD上，AC⊥CE，∠A=∠1，∠E=∠2． (1)若∠1=70°，求∠B、∠D的度数； (2)判断AB与ED的位置关系，并说明理由； (3)作∠A、∠E的角平分线相交于点P，求∠P的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形单元过关（培优版） 考试范围：第十一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．五边形的外角和为（    ） A．180° B．360° C．450° D．540° 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和定理解答即可． 【详解】五边形的外角和为360°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握定理是解题的关键．即多边形的外角和等于360°． 2．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（    ） A． B． C． D．1440 【答案】A 【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案． 【详解】解：边形的内角和是，所以多边形的内角和一定是的整数倍． 在这四个选项中不是的倍数的是． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 3．正多边形的每个内角都等于135°，则该多边形是正（    ）边形． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】首先根据多边形的内角与相邻的外角互补可得外角为180°-135°=45°，再利用外角和为360°除以外角的度数即可得到边数． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都等于135°， ∴多边形的外角为180°-135°=45°， ∴多边形的边数为360°÷45°=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．关键是掌握多边形相邻的内角与外角互补，多边形的外角和为360°． 4．如图，，，，点在上，点在上，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得，又由三角形外角的性质，求得答案． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　） A．141° B．144° C．147° D．150° 【答案】B 【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数． 【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°， (5﹣2)×180°÷5＝108°， ∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216° ＝144°， 故选B． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)． 6．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线，， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可． 【详解】解：， ， ∵BD平分∠ABC， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键． 8．将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【详解】 ∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形， ∴只能通过同一个顶点作三条对角线(如图1)，这种分法有6种， 也从一个顶点作两条对角线(如图2)，这种分法有2种， 如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种， 故各种不同的剖分方法有14种． 故选D. 9．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解： 平分， ， ，， ， ， ，故正确； ， ， 平分，， ，故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 平分， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ，故正确； 由得，， ， ， ，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 10．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：有题意可知 ， ①正确； 是角平分线， ②正确； ③正确； ， ④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，正八边形的两条对角线、相交于点P，则的度数为 . 【答案】67.5° 【分析】先根据正多边形内角计算公式求出∠ABC的度数，继而求出∠BAC的度数，在△ABP中，利用三角形的内角和求出∠APB的度数，再利用对顶角相等即可得解. 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴ ∴.∵，. ∴. 故答案为：67.5°. 【点睛】本题考查的知识点有正多边形内角公式，正多边形的性质，，三角形的内角和以及对顶角相等，属于容易题.失分的原因是：1.没有掌握正多边形内角公式，无法求出的值；2.没有掌握正多边形的基本性质，不能根据题意得出. 12．如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出，再根据折叠性质即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折的性质可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，△ABC的面积为24，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是 . 【答案】； 【分析】作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分的面积a，由相似三角形的面积比等于对应边长比的平方得出△BGD的面积，△GDF的面积，再利用△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=6，列出方程求解即可得出答案． 【详解】如图：作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分的面积a， ∵DG∥AC，BD=2DC， ∴ ∴△BGD的面积=△BCE的面积， ∵△ABC的面积为24，AE=EC， ∴△BCE的面积=△ABC的面积=12， ∴△BGD的面积=△BCE的面积=， 又∵△GDF∽△EAF,且 ∴△GDF的面积=△EAF的面积， ∵BD=2DC， ∴△ADC的面积 ∴△EAF的面积=8−a， ∴△GDF的面积=△EAF的面积=(8−a)， ∴△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=12， ∴+(8−a)+a=12,解得a=. 故答案为. 【点睛】考查三角形的面积，掌握同高的三角形面积之比等于底边之比是解题的关键. 14．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠1+∠2+∠3＝ ． 【答案】60° 【分析】根据n边形内角和定理分别求出等边三角形，正方形，正五边形，正六边形的内角即可求解． 【详解】解：由题意知，等边三角形的内角是60°， 正方形的内角是＝90°， 正五边形的内角＝108°， 正六边形的内角＝120°， ∴∠1＝120°-108°＝12°， ∠2＝108°-90°＝18°， ∠3＝90°-60°＝30， ∠1+∠2+∠3＝12°+18°+30°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了正n边形内角和定理及正n边形内角的求法，熟练掌握n边形内角和为(n-2)×180°这个公式是解题的关键． 15．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为 度． 【答案】28°或74°或118° 【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：当时， 由折叠得，∠B=∠F=32°，∠BED=∠DEF， ∵， ∴∠B=∠CEF=32°， ∴∠BEF=180°-32°=148°， ∴； 当时， ∵， ∴∠BEF=∠C=60°， ∴， ∴； 当时， ∴∠CEF=∠C=60°， ∴∠BGD=∠CEF+∠F=92°， ∴∠BDG=180°-∠B-∠BGD=56°， ∴； 综上所述，∠BDE为28°或74°或118°． 故答案为：28°或74°或118° 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线． (1)求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由． 证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，(已知) ∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E(_________) ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1(等式的性质) ∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线(已知) ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1(_______) ∴∠A＝2∠2﹣2∠1(_________) ＝2(∠2﹣∠1)(_________) ＝2∠E(等量代换) (2)如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB． 【答案】(1)见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证； （2）由（1）可知：∠A＝2∠E，由于∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，所以∠E＝∠ABE，从而可证AB∥CE． 【详解】解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，(已知)， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E(三角形外角的性质)， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1(等式的性质)， ∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线(已知)， ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1(角平分线的性质 )， ∴∠A＝2∠2﹣2∠1( 等量代换)， ＝2(∠2﹣∠1)(提取公因数)， ＝2∠E(等量代换)； (2)由(1)可知：∠A＝2∠E ∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE， ∴2∠E＝2∠ABE， 即∠E＝∠ABE， ∴AB∥CE． 【点睛】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识． 18．如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． (1)AD与EF平行吗？请说明理由； (2)试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）由已知条件和三角形外角性质推出∠BDE+∠3＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证明； （2）利用（1）的结论，推出∠ADE＝∠B，DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得∠AED＝∠C． 【详解】（1）证明：（1）平行； ∵∠1＝∠FDE+∠3，∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠FDE+∠3＝180°， ∵∠BDE＝∠2+∠FDE， ∴∠BDE+∠3＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∠AED＝∠C；理由如下： ∵AB∥EF， ∴∠ADE＝∠3， ∵∠3＝∠B， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， ∴∠AED＝∠C． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识点，难度较小，要熟记平行线的判定定理和性质． 19．回答下列问题：        （1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，，的度数=________（直接写出答案）． （2）如图②，四边形ABCD中，设，，为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若，求的度数（用，的代数式表示，写出详细过程）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由角平分线的性质，得到，再根据三角形一个外角等于其不相邻的两个内角和，解题即可； （2）由四边形内角和360°解得，结合角平分线性质及三角形外角性质解题即可． 【详解】（1）平分，平分 故答案为： （2） 平分，平分 【点睛】本题考查角平分线性质、三角形的外角性质、多边形内角和360°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF． (1)求∠CBE的度数． (2)若∠F＝27°，求证：BEDF． 【答案】(1)63° (2)见解析 【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠CBD＝126°，再由角平分线的定义即可求∠CBE的度数； （2）结合（1）可求得∠CEB＝27°，利用同位角相等，两直线平行即可判定BE∥DF． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角， ∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝126°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠CBD＝63°． （2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°， ∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝27°， ∵∠F＝27°， ∴∠CEB＝∠F， ∴BE∥DF． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的判定，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 21．已知在中，、、的对边分别为a、b、c． (1)化简代数式：______． (2)若，，求的各内角度数． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系，可得，，则，，将绝对值符号去掉，再化简即可； （2）把代入可得，根据三角形个的内角和为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 综上：，，． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键． 22．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可得的三分线，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）分别是邻三分线和邻三分线及，可得，进而可求的度数； （3）根据题意作出相应图形，然后利用三分线得出，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵是“邻三分线”时， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 又∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ （3）如图所示， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用．解决本题的关键是理解三等分线及三角形内角和定理的应用． 23．【生活常识】射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． （1）如图2，若，，则的度数为 ． （2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数． （3）如图4，光线与所在的直线相交于点，，，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）38°；（2）84°；（3），见解析 【分析】（1）利用结论求出∠2，再根据直角三角形两锐角互余求出∠3即可解决问题； （2）由题意∠PCB+∠PBC=360°-2(∠2+∠3)=360°-132°×2=96°，再根据三角形内角和定理解决问题即可； （3）由题意∠P+∠PBD=∠O+∠4，∠4=∠3=∠O+∠2，∠1=∠2=∠PBD，推出β+∠1=α+α+∠1可得结论． 【详解】解：（1）∵∠1=∠2，∠1=52°， ∴∠2=52°． ∵OM⊥ON， ∴∠3=90°-∠2=90°-52°=38°． ∵∠4=∠3， ∴∠4=38°． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）结论：． 理由：∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究：    (1)如图1，若点C在直线上，且，求的度数； (2)若点A在直线上，点C在和之间（不含和上），边、与直线分别交于点D和点K． ①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且；② 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得的度数; （2）①先根据三角形内角和可得，即，再根据平分，平分，可得 ，即有 ，可得结论；②根据三角形的内角和以及平行线的性质得：，确认点C边界上两点时，n的取值范围，代入，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴ ∵， ∴； （2）解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且 理由是：如图2，∵， ∴ ∵平分,平分, ∴， ∴ ∴ ②∵， ∴ ∵, , ∴ ∵ ∴ 即 如图3，点在直线上时，    如图4，∵，和之间的距离为1 ∴点C在直线上时，    ∵点C在和之间（不含和上） ∴，即 ∴m的取值范围是：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和以及角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是关键． 25．如图：点C在线段BD上，AC⊥CE，∠A=∠1，∠E=∠2． (1)若∠1=70°，求∠B、∠D的度数； (2)判断AB与ED的位置关系，并说明理由； (3)作∠A、∠E的角平分线相交于点P，求∠P的度数． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）由三角形内角和及已知直接可求∠B ，再AC⊥CE可得，求出∠2，同理可求∠D． （2）由已知易得，从而可得，根据平行线的判定定理得到：直线与平行． （3）由AP、EP是∠BAC、∠CED的角平分线可得，再由三角形内角和定理可求，进而可得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A=∠1，∠1=70°， 在中，， ∴， 又， ∴， 又∵，， ． （2）；理由如下： ， ∴， 又∵∠A=∠1，∠E=∠2． ∴ ∴， 又∵， ， ． （3）如图，连接AE， 由（2）可知， ∵AP、EP平分、，即， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即：． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和及平行线的判定等问题；灵活运用三角形的内角和定理求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$