精品解析：四川省泸州市合江县少岷初级中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

合江少岷初中2024年春期入学监测卷 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念的理解，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线旁的两个部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能找到这样一条直线使图形沿着一条直线折叠，直线旁的两个部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项C不能找到这样一条直线使图形沿着一条直线折叠，直线旁的两个部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：C． 2. 若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（ ）． A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可． 【详解】解：设第三边长xcm． 根据三角形的三边关系，得2＜x＜8． ∵5cm在第三边长的取值范围内，所以此三角形的第三边长可能为5cm． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 下列物品不是利用三角形稳定性的是( ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性． 解：A，B，C都是利用了三角形稳定性， 放缩尺，是利用了四边形不稳定性． 故选D． 考点：三角形的稳定性． 4. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，，，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选： C． 5. 在平面直角坐标系中，点A（－1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( ) A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （1，3） D. （1，－3） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案． 【详解】解：点的坐标是，点与点关于轴对称， 点的坐标是：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，解题的关键是正确把握横纵坐标的关系． 6. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 8. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【详解】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； 再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP． 故选D． 9. 若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是底边， ∴腰长， 故选：C． 10. 如图是中的角平分线，于点E，，，，则长（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， 由图可知，，且 ∴， 解得． 故选：B． 【点晴】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 11. 如图，平面直角坐标系中，已知定点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识．分三种情况：，，，分别进行解答即可． 【详解】解：、， ，， 设点坐标为，则， 当时，可知点在线段的垂直平分线上，可知点在点，即此时点为； 当时，此时， ∴， 此时点为； 当时，即，可解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的位置有个． 故选：B 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误． 【详解】解：①等边和等边， ，，， ， 在和中， ， ， ； 故①正确； ③（已证）， ， （已证）， ， ， 在与中， ， ， ； 故③正确； ②， ， 是等边三角形， ， ， ∴； 故②正确； ④， ， 等边， ， ∴， ， ． 故④正确； ， ， 又， 是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，， ， 平分， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，互相矛盾， ⑥错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 14. 如果点与点关于轴对称，则的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y），进而得出答案． 【详解】解：∵点P（m，3）与点Q（-5，n）关于y轴对称， ∴m=5，n=3， ∴=8 【点睛】 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 15. 如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质．利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 16. 如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．如图，连接 过作于 先求解 证明 求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 过作于 ，，，， 点是的中点，， 故答案为： 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，绝对值，零指数幂和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据，证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，4. 【解析】 【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可. 【详解】原式 ． ∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4． 【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键. 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求的三角形： （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换作图及点的坐标特征，三角形求面积； （1）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征是“横坐标相反，纵坐标不变”得到对应点的位置即可画出图形； （2）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征即可得到答案； （3）利用三角形面积公式，的长为底，到的距离为高即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，，，． 【小问3详解】 21. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【详解】略 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F， AC与DE交于点H． 求证：（1）△ABC≌△ADE； （2）BC⊥DE． 【答案】 （1）证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE， ∴∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠DAB+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠E=∠C， ∵∠E+∠AHE=90°，∠AHE=∠DHC， ∴∠C+∠DHC=90°， ∴BC⊥DE． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB=∠CAE，进一步得出∠BAC=∠DAE，再根据已知条件及全等的判定方法SAS即可证得△ABC≌△ADE； （2）由△ABC≌△ADE，得出∠E=∠C，利用∠E+∠AHE=90°，推出∠C+∠DHC=90°，结论成立． 证明：（1）略； （2）略． 点睛：本题考查了全等三角形全等的判定及性质，垂直的意义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 23. “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从汇通超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相同． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】（1）购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定题目中数量关系并据此列出分式方程或不等式是解题关键． （1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据“4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相等”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． 【小问2详解】 解：设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶， 依题意，得：， 解得：． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分） 24. 如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并加以证明． 【答案】（1） 证明： ， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：如图，过作于，过作于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （3） 解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得； （2）如图，过作于，过作于，再证明即可； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键． 25. 如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ______， _______． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）3；3 （2）当点Q的运动速度为时，能够使与全等 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）根据点Q的运动速度与点P的运动速度相等，得出答案即可； （2）根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：①当且时，且，②，时，且，解方程即可判断． 【小问1详解】 解：经过后，，； 【小问2详解】 解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，， ， ， 根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况： ①当且时，且， 解得：， ， 舍去此情况； ②，时，且， 解得：； 综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江少岷初中2024年春期入学监测卷 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（ ）． A. 1cm B. 2cm C. 5cm D. 8cm 3. 下列物品不是利用三角形稳定性的是( ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 4. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 5. 在平面直角坐标系中，点A（－1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( ) A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （1，3） D. （1，－3） 6. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 7. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 9. 若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A. B. 或 C. D. 以上都不对 10. 如图是中的角平分线，于点E，，，，则长（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，平面直角坐标系中，已知定点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（ ）个． A. B. C. D. 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 14. 如果点与点关于轴对称，则的值为_______． 15. 如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为______． 16. 如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为_______ 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算： 18. 如图，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 21. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F， AC与DE交于点H． 求证：（1）△ABC≌△ADE； （2）BC⊥DE． 23. “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从汇通超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用6000元购买B品牌垃圾桶数量相同． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分） 24. 如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并加以证明． 25. 如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ______， _______． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $