专题07 用空间向量研究距离、 夹角问题-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

07用空间向量研究距离、 夹角问题 一、知识归纳： 1．点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离 .   2．点到平面的距离 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 . 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 3．两异面直线的夹角：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则 . 4．直线与平面的夹角：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 5．平面与平面的夹角： (1)定义:平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. (2)设平面的法向量分别是，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则 . 自检自纠：1． 2． 3． 4． 5．（1） （2） 二、分层小练： A.基础训练 1．已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 3．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 4．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 5．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . B.提升强化 6．在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（    ） A．1 B．2 C．13 D．26 7．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为 ． 8．在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07用空间向量研究距离、 夹角问题 一、知识归纳： 1．点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，是直线外一点.如图，设，则向量在直线上的投影向量，到直线的距离 .   2．点到平面的距离 设平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离 . 注：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 3．两异面直线的夹角：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则 . 4．直线与平面的夹角：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 5．平面与平面的夹角： (1)定义:平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面的夹角. (2)设平面的法向量分别是，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则 . 自检自纠： 1． 2． 3． 4． 5．（1） （2） 二、分层小练： A.基础训练 1．已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以直线和直线所成角的余弦值为.故选：A. 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】0 【详解】由题意可得：，即，可知∥平面或平面，所以直线与平面所成的角为0.故答案为：0. 3．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，所以，化简得，解得或1．故选：B 4．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是：.故选：B. 5．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】由已知可得，所以点到平面的距离为. B.提升强化 6．在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（    ） A．1 B．2 C．13 D．26 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高.故选：B 7．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱．若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为 ． 【答案】2 【详解】设正四棱柱的高为，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取，得，所以点到平面的距离为，化简整理得，解得（负值舍去）．故正四棱柱的高为2．故答案为：2 8．在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，令为与所成夹角，则 . 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$