第20讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 讲义-2025届高三数学一轮复习

第20讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 一，【基础知识整合】 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为 ． 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示． x ωx＋φ 　 　 y＝Asin(ωx＋φ) 4．图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位． （2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)． （3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)． 5.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ .(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝. 6．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)性质 （1）单调性： （2）最值： （3）周期： （4）对称性： （5）奇偶性： 二，典例精析 题型一：五点法作三角函数图像 例1：已知函数f(x)＝2sin(2x＋)． (1)画出f(x)在[0，π]上的图象； (2)说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到． 【变式训练1】已知函数f(x)＝3sin，x∈R. (1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 题型二：三角函数的图象变换（高频考点） 例2：（1）若将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝ ． （2）函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位长度得到f(x)＝2sin(2x＋)的图象． 【变式训练2】(1)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________． (2)若将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图像向右平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函数为奇函数，则m的最小值是 题型三：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例3：(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则f(x)的解析式为 (2)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f= 【变式训练3】(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________． (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω＝ 题型四：三角函数图象与性质的综合应用 例4：已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1. (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围． 【变式训练4】已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x－1，x∈R.　 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点(－，0)对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈[，]时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 三．方法规律总结 1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 2．由图象确定函数解析式：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)． 4．由函数y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来． 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等． 6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题 1．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　) 　　 　　 2．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin(x－)的图象，则f(x)＝(　　) A．sin(－) B．sin(＋) C．sin(2x－) D．sin(2x＋) 3．已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　) A. B. C. D. 4．设函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)，其中0<ω<1，|φ|<π，若f()＝4，f()＝0，则f(x)在[0，2π]上的单调递减区间是(　　) A．[0，] B．[，2π] C．[，] D．[0，π] 5．“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin(ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则函数的单调递增区间的是(　　) A． B． C． D． 6．函数f(x)＝sin(ω＞0)图象向右平移个单位长度后所得函数图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，则ω的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 7．方程2sin＝1在区间[－2π，2π)上解的个数是(　　) A．4　　　B．6 C．8　　　D．9 8．声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的．已知纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则(　　) A．f(x)的最大值为 B．π为f(x)的最小正周期 C．x＝为曲线y＝f(x)的对称轴 D．(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心 二．多选题 9．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 10．若将函数f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在上的最大值为1 C．x＝是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在区间上单调递减 11．如图所示，点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若M，且·＝0，则(　　) A．N B．ω＝1 C．P D．φ＝ 三、填空题 12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 13．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________． 14．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在区间[0，π]上最多有4个零点，则ω的取值范围为________． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝－cos(2x＋)＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心． 16．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 17．已知函数f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x． (1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值； (2)设g(x)＝3－2m＋mcos(m>0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？ 18．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)同时满足下列四个条件中的三个：①f＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin x－cos x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2． (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围． 19．已知函数f(x)＝10sin ·cos ＋10cos2． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2． ①求函数g(x)的解析式； ②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 一，基础知识回顾 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为． 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示． x ωx＋φ 0　 π　 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位． （2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变)． （3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)． 5.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝. 6. 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)性质： （1）单调性：增区间由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得；增区间由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z（2）最值：最大值为A，当且仅当ωx＋φ=2kπ＋ k∈Z 取最大值； 最小值为－A，当且仅当ωx＋φ=2kπ＋ k∈Z 取最大值。（3）周期：T＝（4）对称性：对称轴由ωx＋φ=kπ＋ k∈Z得；对称中心由（ωx＋φ=kπ ，0）k∈Z得 二，典例精析 题型一：五点法作三角函数图像 例1：已知函数f(x)＝2sin(2x＋)． (1)画出f(x)在[0，π]上的图象； (2)说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到． 【解】(1)已知f(x)＝2sin(2x＋)，列表： x 0 π 2x＋ π 2π f(x)＝2sin(2x＋) 1 2 0 －2 0 1 运用“五点法”画图如图． (2)把y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象；再把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋)的图象；最后把y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋)的图象． 【变式训练1】已知函数f(x)＝3sin，x∈R. (1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 【解】(1)列表取值： x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象. 题型二：三角函数的图象变换（高频考点） 例2：（1）若将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝ ． （2）函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位长度得到f(x)＝2sin(2x＋)的图象． 【解析】（1）将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝2sin[2(x＋)＋]＝2sin(2x＋)的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到g(x)＝2sin(x＋)的图象，即g(x)＝2sin(x＋)．（2）将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋) 的图象．综上可得，函数y＝2sin(2x＋)的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到． 【变式训练2】(1)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________． (2)若将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图像向右平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函数为奇函数，则m的最小值是 【解析】(1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.（2）.f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2(sin 2x－cos 2x)＝2sin(2x－)，将f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝2 sin[2(x－m)－]＝2sin(2x－2m－)的图象．因为y是奇函数，所以－2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝－－，k∈Z.又m>0，所以当k＝－1时，m取得最小值，为，故选B. 题型三：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例3：(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则f(x)的解析式为 (2)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f= 【解析】(1)由题图可知A＝1，且T＝×＝－＝，解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．把代入，得－1＝sin，∵|φ|<，∴＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2)由题图可知：T＝2＝，∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝.又f(0)＝1，∴Atan＝1，得A＝1，∴f(x)＝tan，∴f＝tan＝tan＝. 【变式训练3】(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________． (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω＝ 【解析】(1)依题意得 ＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin(x＋φ)．因为该函数图象过点(2，－)，所以sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝. 又－≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin(x＋)．(2)由题中图象知＝－，∴T＝π，∴ω＝2.则M，N，由·＝0，得＝A2，∴A＝π，∴A·ω＝π 题型四：三角函数图象与性质的综合应用 例4：已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1. (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围． 【解】(1)由题知f(x)＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)单调递减．又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0，所以b的取值范围是(－2，]∪{－}． 【变式训练4】已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x－1，x∈R.　 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点(－，0)对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈[，]时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 【解】(1)因为f(x)＝－cos (＋2x)－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．故f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知h(x)＝2sin(2x＋2t－)．令2×(－)＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.(3)当x∈[，]时，2x－∈[，]，所以f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|<3恒成立，即f(x)max－3<m<f(x)min＋3，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4.故实数m的取值范围是(－1，4)． 三．方法规律总结 1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 2．由图象确定函数解析式：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)． 4．由函数y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来． 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等． 6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题 1．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　) 　　 　　 【答案】A【解析】设y＝f(x)＝sin(2x－)，令x＝0得y＝sin(－)＝－，排除B，D项；由f(－)＝0，f()＝0，f()＝－1，排除C项．故选A. 2．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin(x－)的图象，则f(x)＝(　　) A．sin(－) B．sin(＋) C．sin(2x－) D．sin(2x＋) 【答案】B【解析】将函数y＝sin(x－)的图象向左平移个单位长度可得函数y＝sin[(x＋)－]＝sin(x＋)的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝sin(＋)． 3．已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题图知，T＝2×(－)＝π， 所以ω＝＝2，所以f(x)＝－2cos 2x，所以f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)．又f(＋φ)＝－2cos(＋2φ)＝2，所以＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z)．又0<φ<，所以φ＝. 4．设函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)，其中0<ω<1，|φ|<π，若f()＝4，f()＝0，则f(x)在[0，2π]上的单调递减区间是(　　) A．[0，] B．[，2π] C．[，] D．[0，π] 【答案】C【解析】据题意可得直线x＝和点(，0)分别是f(x)的图象的一条对称轴和一个对称中心，所以－＝T(T是f(x)的周期，k∈Z)，即T＝＝，即ω＝(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝.又由f()＝4得sin(×＋φ)＝1，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin(x＋)．由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得3kπ＋≤x≤3kπ＋(k∈Z)，令k＝0，则f(x)在[0，2π]上的单调递减区间是[，]．故选C. 5．“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin(ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则函数的单调递增区间的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵相邻最大值与最小值之间的水平距离为，∴T＝，则T＝π，∴ω＝＝2，即y＝4sin(2x＋φ)，又图象过点，则sin＝，∵|φ|<，∴φ＋＝，∴φ＝，即y＝4sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数的单调递增区间为，k∈Z，∵⊆，∴是函数的单调递增区间．故选B． 6．函数f(x)＝sin(ω＞0)图象向右平移个单位长度后所得函数图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，则ω的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C【解析】由题意知＝T＝·，得ω＝8k＋4，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值为4．故选C． 7．方程2sin＝1在区间[－2π，2π)上解的个数是(　　) A．4　　　B．6 C．8　　　D．9 【答案】C【解析】原方程化为sin＝，在同一坐标系内作出函数y＝sinx∈[－2π，2π)的图象与直线y＝，如图．观察图象知：在x∈[－2π，2π)时函数y＝sin的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin＝1在区间[－2π，2π)上有8个解．故选C． 8．声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的．已知纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则(　　) A．f(x)的最大值为 B．π为f(x)的最小正周期 C．x＝为曲线y＝f(x)的对称轴 D．(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心 【答案】D【解析】对于A，若f(x)的最大值为，则y＝sin x与y＝sin 2x同时取得最大值，当y＝sin x取得最大值1时，cos x＝0，可得y＝sin 2x＝sin xcos x＝0取不到，若y＝sin 2x取得最大值时，sin 2x＝1，此时x＝kπ(k∈Z)，而y＝sin x＝sin(＋kπ)＝±取不到1，所以y＝sin x与y＝sin 2x不可能同时取得最大值，A不正确；对于B，因为y＝sin x的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是＝π，且f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin[2(x＋2π)]＝sin x＋sin 2x＝f(x)，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋sin[2(x＋π)]＝－sin x＋sin 2x≠f(x)，所以2π为f(x)的最小正周期，B不正确；对于C，f(x＋)＝sin(x＋)＋sin[2(x＋)]＝cos x－sin 2x，f(－x)＝sin(－x)＋sin＝cos x＋sin 2x，所以f(x＋)＝f(－x)不恒成立，即x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，C不正确；对于D，f(2π－x)＝sin(2π－x)＋sin[2(2π－x)]＝－sin x－sin 2x，所以f(x)＋f(2π－x)＝0对于任意的x恒成立，所以(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确． 二．多选题 9．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin．由于y＝sin＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选B、C． 10．若将函数f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在上的最大值为1 C．x＝是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在区间上单调递减 【答案】ABC【解析】由题意可知g(x)＝cos＝cos，所以g(x)的最小正周期为π，A正确；当x∈时，2x－∈，g(x)的最大值为1，故B正确；当x＝时，2x－＝0，为函数g(x)图象的对称轴，故C正确；当x∈时，2x－∈，g(x)不单调，故D错误．故选A、B、C． 11．如图所示，点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若M，且·＝0，则(　　) A．N B．ω＝1 C．P D．φ＝ 【答案】BC【解析】由题知P的纵坐标为，又·＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yP＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以＝2π，ω＝1，，故B正确；所以xP＝xM＋＝，故C正确；xN＝xM＋＝，故A错误；将P代入函数解析式可得sin＝1，φ＝＋2kπ(k∈Z)，故D错误．故选B、C． 三、填空题 12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【解析】因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5cos[(x－6)]，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos(×4)＝23－5×＝20.5. 13．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________． 【解析】依题意，得当x＝＝时，f(x)有最小值，所以sin(·ω＋)＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)．因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以－≤(ω>0)，即0<ω≤12，令k＝0，得ω＝. 14．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在区间[0，π]上最多有4个零点，则ω的取值范围为________． 【解析】由题知，f(x)＝sin(ωx－)，ω>0，当0≤x≤π时，－≤ωx－≤ωπ－，y＝sin x的零点为0，π，2π，3π，4π，5π，…，由于函数f(x)在区间[0，π]上最多有4个零点，所以解得0<ω<. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝－cos(2x＋)＋1－2sin2x. (1)用“五点作图法”画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心． 【解】(1)由题知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．列表如下： x 0 π 2x＋ π 2π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图． (2)将函数f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度后得到y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin(－)的图象．由－＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋(k∈Z)，故g(x)图象的对称中心为(2kπ＋，0)(k∈Z)． 16．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 【解】(1)因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为T＝＝π．(2)由(1)知h(x)＝2sin．令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或t＝．(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．又|f(x)－m|<3，即f(x)－3<m<f(x)＋3，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4．故实数m的取值范围是(－1,4)． 17．已知函数f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x． (1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值； (2)设g(x)＝3－2m＋mcos(m>0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？ 【解】(1)f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，∵x∈，∴2x＋∈．∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－．(2)∵x1∈，∴2x1＋∈，∴sin∈，即f(x1)∈[1,2]．∵x2∈，∴2x2－∈，∴cos∈．又m>0，∴g(x2)＝3－2m＋mcos∈． 假设存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，则此方程组无解．故满足题意的实数m不存在． 18．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)同时满足下列四个条件中的三个：①f＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin x－cos x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2． (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围． 【解】(1)三个条件是：①③④，理由如下：若满足②：因为y＝sin x－cos x＝sin，所以A＝，ω＝1；若满足③：因为＝，所以T＝＝π，所以ω＝2；若满足④：A＝2； 由此可知，若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是①③④．(2)由③④知：f(x)＝2sin(2x＋φ)，由①f＝1，可得2sin＝1，所以sin＝，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z或＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z或φ＝2kπ＋，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，不妨令2x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝，所以若要y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，只需m∈，所以m的取值范围是． 19．已知函数f(x)＝10sin ·cos ＋10cos2． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2． ①求函数g(x)的解析式； ②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0． 【解】(1)因为f(x)＝10sin cos ＋10cos2＝5sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π．(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13．所以g(x)＝10sin x－8．②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞．由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝．由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞．因为y＝sin x的最小正周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞．因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞．故存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0． 学科网（北京）股份有限公司 $$