第19讲 三角函数的图象与性质 讲义-2025届高三数学一轮复习

第19讲 三角函数的图象与性质 1． 基础知识回顾 1．弧度制：(1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad，1°＝ rad，1 rad＝ ． (3)扇形的弧长公式：l＝ ，扇形的面积公式：S＝ ＝ ． 2．任意角的三角函数：(1) 任意角的三角函数定义：设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝ ( )则有sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ，它们是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是： 。 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 单调增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)； 单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 对称性 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (kπ＋，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 无 二.典例精析 题型一：扇形的弧长、面积公式 例1：已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【变式训练1】一扇形的圆心角为α ，半径为R，弧长为l.已知α＝，R＝10 cm， （1）求扇形的面积；（2）求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 题型二：三角函数的定义(高频考点) 例2：（1）已知第三象限角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(－，m)，则＝ (2)若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点(，m)，且sin αcos β<0，则cos αcos β＝________． 【变式训练2】(1)设角α终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sin α的值为________． (2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则m＝________. 题型三：三角函数的定义域和值域 例3：(1)．函数y＝的定义域为________； (2)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________． 【变式训练3】(1)函数y＝的定义域为________． (2)函数f(x)＝3sin在区间[0，]上的值域为 题型四：三角函数的单调性(高频考点) 例4：（1）函数f(x)＝tan(－)的单调递增区间是 (2)函数f(x)＝sin(－2x)的单调递减区间为________ . 【变式训练4】（1）f(x)＝－cos(－2x＋)，则f(x)的单调递增区间为 （2）f(x)＝sin(2x－)，则f(x)在区间[－，]上的单调递增区间为 ；单调递减区间为 题型五：三角函数的周期性、奇偶性及对称性 例5：（1）在函数①y＝cos |x|，②y＝|cos x|，③y＝cos (2x＋)，④y＝tan (2x－)中，它们最小正周期分别为 、 、 、 。 （2）已知当x＝时，函数f(x)＝Asin (x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f(－x)是(　　) A．奇函数且图象关于直线x＝对称 B．偶函数且图象关于直线x＝对称 C．奇函数且图象关于点(，0)对称 D．偶函数且图象关于点(，0)对称 （3）已知函数f(x)＝2sin (x＋θ＋)(θ∈[－，])是偶函数，则θ的值为________． （4）若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象的一个对称中心为M(，0)，距离点M最近的一条对称轴为直线x＝，则ω＝________． 【变式训练5】(1)下列四个函数的最小正周期分别是： 、 、 、 。 ①②③④ （2）当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　) A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 （3）设函数f(x)＝sin (x＋θ)－cos (x＋θ)(|θ|<)的图象关于y轴对称，则θ＝ 三．方法规律总结 1.用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 2. 三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 3. 三角函数值域的不同求法：①利用sin x和cos x的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 4. 三角函数单调性问题解题策略：(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决． 5.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断． 6．求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③利用图象． 7．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 四.课后练习作业 一.选择题 1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 2．已知函数y＝sin(x＋＋φ)是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C. D．π 3．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在(－，－)上单调递减 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(0，)上单调递减 D．f(x)在(，)上单调递增 4．设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象的一条对称轴为直线x＝，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的图像最近的两条对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点(m，0)中心对称，当m∈[0，]时，m的值为(　　) A. B. C. D. 7．记函数f(x)＝cos(ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T，若π<T<，且(π，2)是y＝f(x)图象的一个最高点，则f()＝(　　) A．1－ B．1＋ C．2－ D．2＋ 8．若函数f(x)＝sin (2x－)与g(x)＝cos (x＋)都在区间(a，b)(0<a<b<π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　) A. B. C. D. 2． 多选题 9．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 10．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)在区间上单调递增 11．已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是(　　) A． B． C． D．π 三.填空题 12．函数y＝sin(x－)的对称轴为直线__________，对称中心为__________． 13．若函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)在[－，]上为增函数，则ω的最大值为________． 14．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值可以为________． 四．解答题 15. 已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1) 求弦AB所对的圆心角α的大小；(2) 求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 16．已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且点A(－1，)在终边上． (1)求tan(θ－)的值； (2)若函数f(x)＝sin(x＋θ)cos(x＋θ)＋cos2(x＋θ)＋，求f(x)的最小正周期及单调递减区间． 17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f(0)＝－1；④f(－)＝0. (1)给出函数f(x)的解析式，并说明理由； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 18．已知函数f(x)＝a(2cos2 ＋sin x)＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值． 19．已知函数f(x)＝4sin(ωx＋)＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3? 在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点(，0)对称；③f(x)在[－，]上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 三角函数的图象与性质 1． 基础知识回顾 1．弧度制：(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°． (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2． 2．任意角的三角函数：(1) 任意角的三角函数定义：设P(x，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r＞0)则有sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：正弦上为正，余弦右为正，正切一三正，其余为负不为正。 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 单调增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)； 单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 对称性 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (kπ＋，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 无 二.典例精析 题型一：扇形的弧长、面积公式 例1：已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10(cm)，α＝2 rad. 【变式训练1】一扇形的圆心角为α ，半径为R，弧长为l.已知α＝，R＝10 cm， （1）求扇形的面积；（2）求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 【解】（1）因为α＝，R＝10 cm，所以S扇形＝αR2＝××102＝(cm2)．（2）l＝αR＝×10＝(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝lR－×R2sin ＝××10－×102×＝(cm2)． 题型二：三角函数的定义(高频考点) 例2：（1）已知第三象限角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(－，m)，则＝ (2)若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点(，m)，且sin αcos β<0，则cos αcos β＝________． 【解析】(1)由题意得，(－)2＋m2＝1，解得m＝±，又α为第三象限角，所以m＝－，故sin α＝－，cos α＝－，所以＝＝－1.(2)由题意得cos β＝，由sin αcos β<0知，sin α<0.因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，联立y＝x，解得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，所以cos αcos β＝－. 【变式训练2】(1)设角α终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sin α的值为________． (2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则m＝________. 【解析】(1)设点P与原点间的距离为r，∵P(－4a，3a)，a<0，∴r＝＝|5a|＝－5a.∴sin α＝＝－.(2)由题设知x＝－，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝.∴sin α＝＝＝，∴r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±. 题型三：三角函数的定义域和值域 例3：(1)．函数y＝的定义域为________； (2)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________． 【解析】(1).由2sin x－1≥0，得sin x≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． (2)y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1，设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，∴当t＝时，函数取得最大值. 【变式训练3】(1)函数y＝的定义域为________． (2)函数f(x)＝3sin在区间[0，]上的值域为 【解析】（1）由题知，sin x－cos x＝sin(x－)≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以原函数的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．.(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是. 题型四：三角函数的单调性(高频考点) 例4：（1）函数f(x)＝tan(－)的单调递增区间是 (2)函数f(x)＝sin(－2x)的单调递减区间为________ . 【解析】(1)由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan(－)的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，(2)f(x)＝sin(－2x)的单调递减区间是f(x)＝sin(2x－)的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.　 【变式训练4】（1）f(x)＝－cos(－2x＋)，则f(x)的单调递增区间为 （2）f(x)＝sin(2x－)，则f(x)在区间[－，]上的单调递增区间为 ；单调递减区间为 【解析】（1）f(x)＝－cos(－2x＋)＝－cos(2x－)，欲求函数f(x)的单调递增区间，只需求y＝cos(2x－)的单调递减区间．由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．　（2）令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝[－，]，B＝，易知A∩B＝[－，]．所以当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，又因为－(－)＝<T，所以f(x)在区间[－，－]上单调递减． 题型五：三角函数的周期性、奇偶性及对称性 例5：（1）在函数①y＝cos |x|，②y＝|cos x|，③y＝cos (2x＋)，④y＝tan (2x－)中，它们最小正周期分别为 、 、 、 。 （2）已知当x＝时，函数f(x)＝Asin (x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f(－x)是(　　) A．奇函数且图象关于直线x＝对称 B．偶函数且图象关于直线x＝对称 C．奇函数且图象关于点(，0)对称 D．偶函数且图象关于点(，0)对称 （3）已知函数f(x)＝2sin (x＋θ＋)(θ∈[－，])是偶函数，则θ的值为________． （4）若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象的一个对称中心为M(，0)，距离点M最近的一条对称轴为直线x＝，则ω＝________． 【解析】（1）①y＝cos |x|＝cos x，最小正周期为2π，错误；②y＝|cos x|，最小正周期为π，正确；③y＝cos (2x＋)，最小正周期为＝π，正确；④y＝tan(2x－)，最小正周期为；（2）由题意得，＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为f(x)的最小正周期为2π，令k＝0，所以f(x)＝Asin(x－)(A>0)，所以y＝f(－x)＝Asin(－x－)＝－Acos x，所以函数y＝f(－x)为偶函数且图象关于点(，0)对称．故选D。（3）因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈[－，]，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．（4）函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin (ωx－)，由题意得，－＝，即T＝.故ω＝＝3. 【变式训练5】(1)下列四个函数的最小正周期分别是： 、 、 、 。 ①②③④ （2）当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　) A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 （3）设函数f(x)＝sin (x＋θ)－cos (x＋θ)(|θ|<)的图象关于y轴对称，则θ＝ 【解析】(1)①其最小正周期 ②其最小正周期③其最小正周期；④其最小正周期 .(2)∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．∴f(x)＝sin＝sin(k∈Z)．∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x.∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．选C.（3）)f(x)＝2sin(x＋θ－)，f(x)的图象关于y轴对称⇔f(x)是偶函数⇔θ－＝kπ＋，k∈Z，即θ＝kπ＋，k∈Z，因为|θ|<，所以θ＝－. 三．方法规律总结 1.用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 2. 三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 3. 三角函数值域的不同求法：①利用sin x和cos x的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 4. 三角函数单调性问题解题策略：(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决． 5.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断． 6．求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③利用图象． 7．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 四.课后练习作业 一.选择题 1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 【答案】【解析】C.因为y＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin(2x＋)，所以T＝＝π. 2．已知函数y＝sin(x＋＋φ)是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C. D．π 【答案】B【解析】由题意得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，得φ＝－.故选B. 3．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在(－，－)上单调递减 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(0，)上单调递减 D．f(x)在(，)上单调递增 【答案】C【解析】f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，令2kπ<2x<2kπ＋π，k∈Z，解得kπ<x<kπ＋，k∈Z，则f(x)的单调递减区间为(kπ，kπ＋)，k∈Z；令2kπ－π<2x<2kπ，k∈Z，解得kπ－<x<kπ，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为(kπ－，kπ)，k∈Z.对于A，f(x)在(－，－)上单调递增，故A错误；对于B，f(x)在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，故B错误；对于C，f(x)在(0，)上单调递减，故C正确；对于D，f(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，故D错误． 4．设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减 【答案】D【解析】函数f(x)＝cos(x＋)的图象可由y＝cos x 的图象向左平移个单位长度得到，如图所示，则f(x)在(，π)上先递减后递增，D选项错误． 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象的一条对称轴为直线x＝，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】由题意得ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝6k＋2(k∈Z)．因为ω＞0，所以当k＝0时，ωmin＝2.故选B. 6．函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的图像最近的两条对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点(m，0)中心对称，当m∈[0，]时，m的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得f(x)的最小正周期为T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)．由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，故m＝. 7．记函数f(x)＝cos(ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T，若π<T<，且(π，2)是y＝f(x)图象的一个最高点，则f()＝(　　) A．1－ B．1＋ C．2－ D．2＋ 【答案】A【解析】函数f(x)＝cos(ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T，则T＝，由π<T<π，得π<<π，所以<ω<2.因为(π，2)是y＝f(x)图象的一个最高点，则b＝1，且cos(ωπ＋)＋1＝2，则ωπ＋＝2kπ，k∈Z，所以ω＝－＋2k，k∈Z，取k＝1，可得ω＝，所以f(x)＝cos(x＋)＋1，则f()＝cos(×＋)＋1＝cosπ＋1＝－＋1.故选A. 8．若函数f(x)＝sin (2x－)与g(x)＝cos (x＋)都在区间(a，b)(0<a<b<π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数f(x)＝sin (2x－)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，π)上单调递增，函数g(x)＝cos(x＋)在区间(0，)上单调递减，在(，π)上单调递增，所以这两个函数在区间(，)上单调递减，故b－a＝－＝，即为所求的最大值．故选B. 2． 多选题 9．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 【答案】ABC【解析】由题意，可得f(x)＝－cos x，对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错误．故选A、B、C． 10．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)在区间上单调递增 【答案】AD【解析】A项，函数的最小正周期为T＝＝2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，故本结论是正确的；B项，当x＝时，f＝sin＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；C项，当x＝－时，f＝sin＝－1≠0，故本结论是错误的； D项，当x∈时，∈，所以函数f(x)＝sin单调递增，故本结论是正确的．故选A、D． 11．已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是(　　) A． B． C． D．π 【答案】AC【解析】由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0<m≤．故选A、C． 三.填空题 12．函数y＝sin(x－)的对称轴为直线__________，对称中心为__________． 【解析】由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故函数y＝sin(x－)的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z，　对称中心为(＋kπ，0)，k∈Z. 13．若函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)在[－，]上为增函数，则ω的最大值为________． 【解析】因为y＝2sin θ在θ∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z上单调递增，故需满足[－ω＋，ω＋]⊆[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，显然此时k＝0，则解得又ω>0，所以0<ω≤，则ω的最大值是. 14．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值可以为________． 【解析】因为f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)·cos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)，因为sin (x＋θ)≤1，所以＝2，解得sin φ＝1，则φ＝＋2kπ， k∈Z.故常数φ的一个取值可以为. 四．解答题 15. 已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1) 求弦AB所对的圆心角α的大小；(2) 求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【解】(1) 由圆O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴ α＝∠AOB＝.(2) 由(1)可知α＝，r＝10，∴ 弧长l＝α·r＝×10＝，∴ S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴ S＝S扇形－S△AOB＝50. 16．已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且点A(－1，)在终边上． (1)求tan(θ－)的值； (2)若函数f(x)＝sin(x＋θ)cos(x＋θ)＋cos2(x＋θ)＋，求f(x)的最小正周期及单调递减区间． 【解】(1)由题意可得，tan θ＝＝－，且θ为第二象限角，所以θ＝2kπ＋，k∈Z，则tan (2kπ＋－)＝tan(－)＝＝＝2＋.(2)由(1)得，f(x)＝sin(x＋2kπ＋)·cos(x＋2kπ＋)＋cos2(x＋2kπ＋)＋＝sin(x＋)cos(x＋)＋cos2(x＋)＋＝sin(2x＋)＋×＋ ＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＋＝sin(2x＋)＋＝sin(2x－)＋.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.因为＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．　 17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f(0)＝－1；④f(－)＝0. (1)给出函数f(x)的解析式，并说明理由； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 【解】(1)若函数f(x)满足条件③，则f(0)＝Asin φ＝－1.这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故f(x)不能满足条件③，所以函数f(x)只能满足条件①②④.由条件①得＝π，又因为ω＞0，所以ω＝2.由条件②得A＝2.由条件④得f(－)＝2sin(－＋φ)＝0，又因为0＜φ＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin(2x＋)．(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 18．已知函数f(x)＝a(2cos2 ＋sin x)＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值． 【解】函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin(x＋)＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin(x＋)＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，所以－≤sin(x＋)≤1，依题意知a≠0.①当a>0时，得解得②当a<0时，得解得综上所述，或 19．已知函数f(x)＝4sin(ωx＋)＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3? 在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点(，0)对称；③f(x)在[－，]上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】由题意得≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.若选择①，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.此时，f(x)＝4sin(4x＋)＋a.由x∈[0，]，得4x＋∈[，]，因此当4x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4＋a.令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3.若选择②，则有ω＋＝kπ(k∈Z)，解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.此时，f(x)＝4sin(3x＋)＋a.由x∈[0，]，得3x＋∈[，]，因此当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4sin ＋a＝＋＋a.令 ＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意．故不存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3.若选择③，则有(k∈Z)，解得(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1.此时，f(x)＝4sin(x＋)＋a.由x∈[0，]，得x＋∈[，]，因此当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋a.令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意．故存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3. 学科网（北京）股份有限公司 $$