2.1圆的方程(第2课时　圆的一般方程)学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第2章——圆与方程 A 第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 (第2课时　圆的一般方程) 【学习目标】 1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程； 2．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题． 【温顾·习新】 一、圆的一般方程的定义 思考　(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？ (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ (3)如果方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？ 填空　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F>0 做一做　若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________． 【研讨·拓展】 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 【变式1-1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________； (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 二、点与圆的位置关系 填空　已知点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F 0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F 0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F 0 做一做　已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则实数a的取值范围为________． 【例2】已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5)． (1)求这个三角形外接圆的一般方程； (2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系． 【变式2-1】(多选)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 【变式2-2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标． 【变式2-3】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 三、圆的轨迹问题 问题　轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式． 【例3】(直接法)求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程． 【例4】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程； (3)求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 【例5】(定义法)已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程． 【变式5-1】已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 【变式5-2】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则点P的轨迹方程是________． 【变式5-3】过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，延长OA到N，使OA＝AN，则点N的轨迹方程为________． 【变式5-4】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作▱MONP，求点P的轨迹． 【变式5-5】已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的圆的弦的中点P的轨迹． 【例6】已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． 【例7】已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【例8】在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动． (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N，求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标． 【总结提炼】 1．牢记2个知识点：(1)圆的一般方程；(2)点与圆的位置关系． 2．重点掌握3种方法：(1)二元二次方程表示圆的判定方法；(2)待定系数法求圆的方程；(3)相关点法求轨迹方程的一般步骤． 3．注意1个易错点：易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$