2.1 圆的方程(第1课时　圆的标准方程)学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第2章——圆与方程 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 (第1课时　圆的标准方程) 【学习目标】 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程； 2．会根据已知条件求圆的标准方程； 3．能准确判断点与圆的位置关系． 【温顾·习新】 一、圆的定义及标准方程 思考　(1)圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ (2)已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？ 填空　(1)圆的定义：平面内 叫作圆．其中定点就是 ，定长就是 ． (2)圆的标准方程： 圆 特殊情况 一般情况 圆心 (0，0) (a，b) 半径 r(r>0) r(r>0) 标准方程 做一做　经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝ D．(x－1)2＋(y－1)2＝ 【研讨·拓展】 【例1】(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为_____________． (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________． 【例2】(1)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． (2)已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 【变式2-1】已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________． 【变式2-2】求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程． 二、点与圆的位置关系 思考　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？ 填空　点与圆的位置关系：已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝，则 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点P在圆外 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点P在圆上 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点P在圆内 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 做一做　点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定 【例3】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． 【变式3-1】已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 【变式3-2】已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________． 【例4】如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m时，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？(结果保留两位小数) 【变式4-1】一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过多少米？(结果保留一位小数) 【例5】若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则的最小值为________，最大值为________． 【变式5-1】圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________． 【变式5-2】曲线y＝－(x≤0)的长度为________． 【变式5-3】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________． 【例6】已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为________． 【变式6-1】若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)，则圆C的半径长为________． 【变式6-2】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1．在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 【总结提炼】 1．牢记2个知识点：(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；(2)点与圆的位置关系． 2．重点掌握2种方法：(1)求圆的标准方程的方法；(2)判断点与圆的位置关系的方法． 3．注意1个易错点：本节课的易错点是求圆的标准方程时易漏解． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$