1.2.3 直线的一般式方程学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第1章——直线与方程 A 第1章 直线与方程 1.2 直线的方程 1.2.3 直线的一般式方程 【学习目标】 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式； 2．会进行直线方程的五种形式间的转化． 【温顾·习新】 直线的一般式方程 思考　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 填空　(1)直线与二元一次方程的关系 ①平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程 来表示． ②在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示 ． (2)直线的一般式方程：方程 叫作直线的一般式方程． (3)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当 时，直线与两条坐标轴都相交； ②当 时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当 时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当 时，直线与x轴重合； ⑤当 时，直线与y轴重合． 做一做　与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为(　　) A．x－6＝0 B．y－6＝0 C．x＋y＝6 D．x－y＝6 【研讨·拓展】 【例1】根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4． 【变式1-1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴． 【例2】设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1． 【变式2-1】直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【例3】(多选)下列说法中正确的是(　　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【例4】(多选)若A·C<0，B·C<0，则直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 【变式4-2】直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足________． 【变式4-3】设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________． 【变式4-4】已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________． 【变式4-5】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0． (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 【例5】已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 【总结提炼】 1．重点掌握2种方法：(1)求直线一般式方程的策略； (2)一般式方程和其他几种形式方程之间的转化及应用． 2．注意1个易错点：方程Ax＋By＋C＝0表示一条直线时，A，B必不能同时为0． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$