精品解析：吉林省白城市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

白城市第一中学2024-2025学年度上学期开学测验数学试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且是偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ） ①；②；③存在无穷多个,使；④ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 当x∈（0，+∞）时，若关于x的方程有两解（e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） （2023·黑龙江省齐齐哈尔市第一中学月考） 9. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知符号函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 对任意的， C. 对任意的， D. 的值域为 11. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（ ） A. －1 B. C. D. 1 三、填空题（共5小题） （2023·安徽省滁州市期中联考） 12. 若，则的最小值为__________. 13. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 14. 定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________ 15. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________. 16. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共6小题） (2023·济南模拟) 17. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，，求的取值范围. 18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ （2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研） 19. 已知函数，. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间及在区间上的最值； （2）若对，恒成立，求a的取值范围. 20. 已知二次函数. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； （2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 21. 已知函数． （1）试讨论函数的单调性； （2）证明：当时，恒成立． 22. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若是的最大的极大值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市第一中学2024-2025学年度上学期开学测验数学试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据知，函数的图像在函数图像的下方，进而得关于a的一元二次不等式，从而得出结论. 【详解】 当时，，由是奇函数，可作出的图象如下． 又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方， 即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方， 如图所示，所以，解得． 故选：B． 2. 已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解. 【详解】由题意，知函数的零点，即方程根. 令，，则. 当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根； 当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根. 综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点. 故选：D 3. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画图象，结合图象判断，再利用图象判断时的值域，即得结果. 【详解】作出的大致图象如图，交点横坐标，自左向右依次排列， 由图可知，关于轴对称，，即，则. 由图象知，时，， 所以. 故选:B. 4. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【详解】令 得：， 令，则， ， 即， ， 令， 则， 由恒成立知， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 时，， 时方程恒有根， 即， 故选：D 5. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且是偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数是定义在上的偶函数，是偶函数可得是周期为4的周期函数，令，然后利用的单调性可解出不等式. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，是偶函数， 所以，即是周期为4的周期函数， 所以， 令，则，因为，所以， 所以在上单调递减， 由可得，即，所以， 故选：A. 6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由，构造函数，根据，求得，进而得到，利用导数法求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以，即， 因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以， 当或时，，当时，， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 又当时，， 所以函数的零点个数为1， 故选：B 7. 已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ） ①；②；③存在无穷多个,使；④ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】归纳猜想可说明①正确③错误，利用放缩法可证明，从而，可证明②正确，由得，可知，累加法可证明④正确. 【详解】，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故①正确； 令，则，所以在上单调递增，且当且仅当时，，所以，即.因为，且，，故②正确； ，，，由归纳法可知，，故不存在无穷多个,使，故③错误； 由得，，累加可得：可知④正确. 故选：B. 8. 当x∈（0，+∞）时，若关于x的方程有两解（e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题设方程有解转化为在上有两个正根，构造并应用导数研究单调性及值域，进而可求a的范围. 【详解】当时，若关于的方程有两解，等价于有两个正根，即有两个正根， 设，，则，而； 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴，且时，；时，， ∴与在时有两个交点， ∴实数的取值范围是， 故选：C . 二、多选题（共3小题） （2023·黑龙江省齐齐哈尔市第一中学月考） 9. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用的奇偶性得到，代入即可求得，由此判断即可； 对于BC，利用的奇偶性与换元法得到，进而得到，从而利用赋值法即可得解； 对于D，由选项BC中的结论可推得是周期函数，进而推得，从而得以判断. 【详解】对于A，因为是定义域为R的奇函数，所以， 又因为当时，， 所以，解得， 所以，，故A错误； 对于B，因为为偶函数，所以， 令，则，所以， 令，则，故B正确； 对于C，因为，所以， 令，则，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以是的周期函数，则， 令，则由得， 故， 所以由的周期性可知，， 所以，故D错误. 故选：BC. 10. 已知符号函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 对任意的， C. 对任意的， D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知结合函数奇偶性、单调性和定义及指数函数的性质分别检验各项即可判断 【详解】解：对于A，当时，，则；当时，，则，当时，，所以函数是奇函数，所以A正确； 对于B，当时，，则，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，其值域为，所以D错误， 故选：AC 11. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可. 【详解】依题意可得：，故， 令，则，所以函数为奇函数， ，因为当时，， 即当时，， 故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减， 因为， 故， 即，故，故， 故实数的取值范围为. 由选项可知：BCD正确； 故选：BCD. 三、填空题（共5小题） （2023·安徽省滁州市期中联考） 12. 若，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简已知式为，再由基本不等式先求出的最小值，即可得出答案. 【详解】由，可得， 则两边同除以，得， 又因为， 当且仅当，即或时等号成立， 所以. 故答案为：2 13. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 14. 定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作函数与的图象，根据对称性结合，从而可得，进而可解. 【详解】由题意，作函数与的图象如下， 结合图象， 设函数的零点分别为， 则，，即， 故， ∵关于的方程所有根之和为， ∴． 故答案为：. 15. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以. 故答案为： 16. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数的定义域为， 由，得，所以， 令， 由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由，得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，没有最小值， 由，得， 当时，在上单调递增， 在上单调递减， 所以有最大值，无最小值，不合题意， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以即， 所以，即的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法. 四、解答题（共6小题） (2023·济南模拟) 17. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到导函数在上恒大于等于0，从而得到函数最值； （2）先由特殊点的函数值和导函数值，确定，再证明其充分性，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，， 所以在上单调递增，所以. 【小问2详解】 注意到，，则， 若，，由（1）知，当时，； 当时，， 所以恒成立，符合题意； 若，， 当时，，不合题意； 若，因为时，， 所以在上单调递增， 因为，又， 所以存在，， 当时，， 在上单调递减，，不合题意； 综上，，的取值范围是. 【点睛】导函数求解函数的取值范围题目，先由特殊点的函数值或导函数的值确定参数的取值范围，即必要性探究，再证明其充分性成立，这是求解参数取值范围的一种常用思路. 18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 【答案】（1），，； （2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可； （2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值. 【小问1详解】 依题意设，由，得； 设，由，得. 【小问2详解】 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，∵， 当，万元时，收益最大万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元． （2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研） 19. 已知函数，. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间及在区间上的最值； （2）若对，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）（i）； （ii）的单调递增区间为，单调递减区间为； 在区间上的最大值为，最小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程； （ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况； （2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处的切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，，， ，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （ii），， ， 令，解得，令，解得， 当时，， 又，， 其中， 故， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 ， 对，恒成立， 变形为对恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 其中，，当时，恒成立， 故画出的图象如下： 其中恒过点， 又，故在处的切线方程为， 又在上， 结合图象可得此时在上方， 另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求， 故要想满足，需要， 解得， a的取值范围是 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 20. 已知二次函数. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； （2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得； （2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围． 【小问1详解】 设二次函数的两个零点分别为，， 由已知得， 而，所以，故， 不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. 【小问2详解】 因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即， 解得：，即实数t的取值范围为. 21. 已知函数． （1）试讨论函数的单调性； （2）证明：当时，恒成立． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，以及，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，可得出，要证原不等式成立，即证不等式恒成立，令，即证，令，利用导数法证得即可证得结论成立. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 则． 当时，，此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，令，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 证明：当时，恒成立， 即当时，恒成立． 又，，所以，， 故只需证明：不等式恒成立． 令，则，上述不等式等价于． 令，则． 又，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，， 令，可得，令，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，对任意的恒成立， 所以，当时，恒成立， 即当时，恒成立． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 22. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若是的最大的极大值点，求证：. 【答案】（1） （2）由（1）得，所以， 当时，，所以在无极大值点. 当时，令，则在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，， 所以当时，，即， 所以是的极小值点，在内无极大值点 ∵，， 所以存在，使得，即，即， 当时，；当时，， 所以是的极大值点，也是的最大的极大值点. 因为在上单调递减，所以， . 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数值即可求解， （2）先对上考虑导函数的正负确定单调性，进而考虑上导函数的正负，结合零点存在性定理即可确定函数的极值点求证. 【小问1详解】 ∵，∴ 又，所以在处的切线方程为， 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $