【每日一练】2024-2025学年苏科版九年级数学上册第一周

第一周 周一 一元二次方程 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x4 D．x2＝3x﹣2 2．方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，15 B．﹣6，15 C．6，﹣15 D．﹣6，﹣15 3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 　 　． 5．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　． 6．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　 　． 7．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2＝7； （2）2x2+5＝4x； （3）（x﹣2）（2x+1）＝x2+2． 8．用方程描述下列问题中的数量关系： （1）已知两个连续偶数的积为24，求这两个偶数； （2）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形，求矩形的边长； （3）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．求参赛的队数． 【拓展思考】 9．有关于x的方程，回答下列问题： （1）若方程是一元二次方程，求m的值； （2）若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来． 第一周 周二 直接开平法、配方法解一元二次方程 1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0 2．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x的值为（　　） A． B．± C． D． 3．用配方法解一元二次方程，将x2﹣6x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣3，11 B．3，11 C．﹣3，7 D．3，7 4．将下列各式配成完全平方式： ①x2+6x+　 　＝（x+　 　）2； ②x2﹣10x+　 　＝（x﹣　 　）2； ③x2+4x+　 　＝（x+　 　）2； ④x2﹣12x+　 　＝（x﹣　 　）2． 5．关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解，则m的取值范围 　 　． 6．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　 　． 7．解方程： （1）x2﹣2x＝2x+1（用配方法）； （2）2x2+3＝7x（用配方法）； （3）（用直接开平方法）； （4）（x﹣1）2﹣36＝0（用直接开平方法）． 【拓展思考】 8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4． ∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4．∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值． （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 第一周 周三 根的判别式、公式法解一元二次方程 1．用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 4．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 5．若关于x的方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 6．解下列方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x+4）＝10+5x． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【拓展思考】 8．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 第一周 周四 一元二次方程根与系数间的关系 1．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 2．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 3．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 4．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　． 5．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　 　． 6．设x1、x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，不解方程求下列各式的值： （1）； （2）． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝5，求k的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m时，方程的两根分别为矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 【拓展思考】 9．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题： （1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）应用：求一些代数式的值． ①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值； ②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值． 第一周 周五 用一元二次方程解决问题 1．红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 2．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 3．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 　 　． 4．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 　 　． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s． 6．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【拓展思考】 7．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一周 周一 一元二次方程 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x4 D．x2＝3x﹣2 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意； B、原方程为二元二次方程，不符合题意； C、原方程为分式方程，不符合题意； D、原方程为一元二次方程，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，15 B．﹣6，15 C．6，﹣15 D．﹣6，﹣15 【分析】找出一元二次方程一次项系数和常数项即可． 【解答】解：方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是﹣6，﹣15． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【解答】解：由题意，， 解得：a＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 　2　． 【分析】将x＝1代入方程，求解即可． 【解答】解：把x＝1代入x2+2x+a﹣5＝0得1+2+a﹣5＝0， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 5．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　1　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且m2+1＝2，再求出答案即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m+1≠0且m2+1＝2， 解得：m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且m2+1＝2是解此题的关键． 6．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　2022　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣a﹣1＝0，再把2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022． 故答案为：2022． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2＝7； （2）2x2+5＝4x； （3）（x﹣2）（2x+1）＝x2+2． 【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【解答】解：（1）3x2＝7， 3x2﹣7＝0， 即一元二次方程的一般形式是3x2﹣7＝0，二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是﹣7； （2）2x2+5＝4x， 2x2﹣4x+5＝0， 即一元二次方程的一般形式是2x2﹣4x+5＝0，二次项系数是2，一次项系数是﹣4，常数项是5； （3）（x﹣2）（2x+1）＝x2+2， 2x2+x﹣4x﹣2﹣x2﹣2＝0， x2﹣3x﹣4＝0， 即一元二次方程的一般形式是x2﹣3x﹣4＝0，二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是﹣4． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键． 8．用方程描述下列问题中的数量关系： （1）已知两个连续偶数的积为24，求这两个偶数； （2）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形，求矩形的边长； （3）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．求参赛的队数． 【分析】（1）设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2，根据两数之间为24，即可列出关于x的一元二次方程； （2）设矩形的一边长为y cm，则其邻边长为（20﹣y）cm，根据矩形的面积为64cm2，即可列出关于y的一元二次方程； （3）设共有z支球队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于z的一元二次方程． 【解答】解：（1）设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2， 根据题意得：x（x+2）＝24； （2）设矩形的一边长为y cm，则其邻边长为（20﹣y）cm， 根据题意得：y（20﹣y）＝64； （3）设共有z支球队参赛， 根据题意得：z（z﹣1）＝36． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【拓展思考】 9．有关于x的方程，回答下列问题： （1）若方程是一元二次方程，求m的值； （2）若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得m2+1＝2，且m﹣1≠0，解方程即可； （2）根据一元一次方程的定义可得①m2+1＝1，且m﹣1+m﹣2≠0，即可得到m的值，②m＝1，再把m的值代入原方程解方程可得x的值． 【解答】解：（1）m2+1＝2，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1； （2）①m2+1＝1，且m﹣1+m﹣2≠0， 解得：m＝0， 则方程变为﹣3x﹣1＝0， 解得：x． ②m＝1时方程也是一元一次方程， 则方程变为﹣x﹣1＝0， 解得：x＝﹣1． ③当m2+1＝0时，方程无实数根，不合题意． 综上所述：m＝0时，x；m＝1时，x＝﹣1． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 第一周 周二 直接开平法、配方法解一元二次方程 1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0 【分析】这个式子先移项，变成x2＝9，从而把问题转化为求9的平方根． 【解答】解：移项得x2＝9，∴x＝±3．故选C． 【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 2．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x的值为（　　） A． B．± C． D． 【分析】根据2x2+3与2x2﹣4互为相反数列出x的一元二次方程，整理后，利用直接开平方法求出x的值． 【解答】解：根据题意知2x2+3+2x2﹣4＝0， 整理，得：4x2﹣1＝0， 则4x2＝1， x2， ∴x＝±， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．用配方法解一元二次方程，将x2﹣6x+2＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　） A．﹣3，11 B．3，11 C．﹣3，7 D．3，7 【分析】移项，配方，变形后即可得出答案． 【解答】解：x2﹣6x+2＝0， x2﹣6x＝﹣2， x2﹣6x+9＝﹣2+9， （x﹣3）2＝7， a＝﹣3，b＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．将下列各式配成完全平方式： ①x2+6x+　9　＝（x+　3　）2； ②x2﹣10x+　25　＝（x﹣　5　）2； ③x2+4x+　4　＝（x+　2　）2； ④x2﹣12x+　36　＝（x﹣　6　）2． 【分析】各式利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：①x2+6x+9＝（x+3）2； ②x2﹣10x+25＝（x﹣5）2； ③x2+4x+4＝（x+2）2； ④x2﹣12x+36＝（x﹣6）2． 故答案为：①9，3；②25，5；③4，2；④36，6． 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解，则m的取值范围 　m＜﹣1　． 【分析】根据平方非负数的性质即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程（2x+5）2＝m+1无实数解， ∴m+1＜0， 解得m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是熟悉平方的非负性． 6．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　13　． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去， 当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 7．解方程： （1）x2﹣2x＝2x+1（用配方法）； （2）2x2+3＝7x（用配方法）； （3）（用直接开平方法）； （4）（x﹣1）2﹣36＝0（用直接开平方法）． 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）根据直接开平方法解方程； （4）根据直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝2x+1， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ， ∴； （2）2x2+3＝7x， 2x2﹣7x＝﹣3， ， ， ， ， ， ∴； （3）， （x+1）2＝100， x+1＝±10， x＝﹣1±10， ∴x1＝9，x2＝﹣11； （4）（x﹣1）2﹣36＝0， （x﹣1）2＝36， x﹣1＝±6， x＝1±6， ∴x1＝7，x2＝﹣5． 【点评】此题考查了解一元二次方程，正确掌握各种一元二次方程的解法是解题的关键． 【拓展思考】 8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4． ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4． ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值． （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）多项式配方后，可得（m）2，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，可得﹣（x﹣1）2+5，根据完全平方式恒大于等于0，可得﹣（x﹣1）2≤0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值． 【解答】解：（1）m2+m+4＝（m）2， 因为（m）2≥0， 所以（m）2， 则m2+m+4的最小值是 （2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5， 因为﹣（x﹣1）2≤0， 所以﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5， 答：4﹣x2+2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， 因为﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，﹣2（x﹣5）2≤0， 所以﹣2（x﹣5）2+50≤50， 所以﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5， 则当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2， 答：当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2，． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键. 第一周 周三 根的判别式、公式法解一元二次方程 1．用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7 【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出a、b、c的值即可． 【解答】解：3x2+x＝7， 移项，得3x2+x﹣7＝0， 这里a＝3，b＝1，c＝﹣7， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】由x是某个一元二次方程的根知此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1． 【解答】解：∵x是某个一元二次方程的根， ∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 4．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 【分析】先利用一次函数的性质得k＞0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝﹣4kb，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据图象可得k＞0，b＜0， 所以kb＜0， 因为Δ＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb， 所以Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象． 5．若关于x的方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　k≥﹣3　． 【分析】先对k+2是否为零进行分类讨论，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：当k+2＝0，即k＝﹣2时， 原方程为﹣2x﹣1＝0， 此方程有实数根， 所以k＝﹣2满足题意． 当k+2≠0，即k≠﹣2时， Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣3， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣3． 故答案为：k≥﹣3． 【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．解下列方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x+4）＝10+5x． 【分析】（1）应用配方法解一元二次方程即可． （2）应用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）2x2﹣4x+1＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）x（2x+4）＝10+5x， 2x（x+2）﹣5（x+2）＝0， （x+2）（2x﹣5）＝0， ∴x+2＝0或2x﹣5＝0， ∴x1＝﹣2，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）把方程的一个根x＝1代入x2+（m+3）x+m+1＝0，计算即可求m的值； （2）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况． 【解答】（1）解：将x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0； 解得m； （2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 【拓展思考】 8．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可； （2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k； （2）∵k是符合条件的最大整数， ∴当k时的最大整数值是2， 则关于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根， ∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0， 解得m＝1； 而m﹣1≠0，所以m＝1舍去， 当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0， 解得m， ∴m的值为． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 第一周 周四 一元二次方程根与系数间的关系 1．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得到x1•x24． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 2．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴ab＝﹣3，a+b＝2， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 3．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【分析】根据x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，得出x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，再把变形为，然后代入计算即可． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴2 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 4．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣3　． 【分析】利用根与系数之间的关系求解 【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得， m×2＝﹣6， ∴m＝﹣3， 故答案为﹣3， 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用． 5．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　0　． 【分析】由两根互为相反数可知两根之和为0，再由根与系数的关系可得到关于a的方程，即可求得a的值． 【解答】解：∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣（a2﹣2a）＝0，解得a＝0或a＝2， 当a＝2时，方程为x2+1＝0，该方程无实数根，舍去， ∴a＝0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出两根和为0是解题的关键． 6．设x1、x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，不解方程求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2，x1x2＝﹣2． （1）将x1+x2，x1x2＝﹣2代入x2+x1x1x2（x1+x2）中，即可求出结论； （2）将x1+x2，x1x2＝﹣2代入（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论． 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根， ∴x1+x2，x1x2＝﹣2． （1）x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣2×（）＝3； （2）（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（﹣2）． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）xk2﹣2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝5，求k的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案； （2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2，由x1﹣x2＝5知（x1﹣x2）2＝25，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，从而列出关于k的方程，解之可得答案． 【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2） ＝4k2+4k+1﹣2k2+8 ＝2k2+4k+9 ＝2（k+1）2+7＞0， ∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0， ∴2（k+1）2+7＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2k2﹣2， ∵x1﹣x2＝5， ∴（x1﹣x2）2＝25， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝25， ∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝25， 化简得k2+2k﹣8＝0， 解得k＝2或k＝﹣4． 【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m时，方程的两根分别为矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 【分析】（1）一元二次方程有实数根，则△≥0，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）设方程的两个根分别为x1，x2，，利用•根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根，a＝1，b＝﹣5，c＝2m， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2m≥0， ∴m， ∴当m时，原方程有实数根； （2）当m时，原方程为x2﹣5x+5＝0． 设方程x2﹣5x+5＝0的两个根分别为x1，x2， 则x1+x2＝5，x1x2＝5， ∴该矩形对角线的长为． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 【拓展思考】 9．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题： （1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝　5　，x1x2＝　3　． （2）应用：求一些代数式的值． ①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值； ②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值． 【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可； （2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案． 【解答】解： （1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2， ∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3， 故答案为：5；3； （2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝2， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1； ②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0， ∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根， ∴a+b＝1，a2﹣a＝5， ∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键． 第一周 周五 用一元二次方程解决问题 1．红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 7200（1+x）2＝8450， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 2．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程． 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）； 依题意，可列方程为：10． 故选：A． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 3．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 　1000（1﹣x）2＝810　． 【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，得：1000（1﹣x）2＝810， 故答案为：1000（1﹣x）2＝810． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 　（25﹣x）×（100+5x）＝1500　． 【分析】利润＝售价﹣进价，由每降价1元，每天可多卖出5件，可知每件售价降低x元，每天可多卖出5x件，从而列出方程即可． 【解答】解：原来售价为每件50元，进价为每件25元，利润为每件25元，又每件售价降价x元后，利润为每件（25﹣x）元． 每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出5x件，现在的销量为（100+5x）． 根据题意得：（25﹣x）×（100+5x）＝1500， 故答案为：（25﹣x）×（100+5x）＝1500． 【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　2　s． 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16， 整理，得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【拓展思考】 7．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【解答】解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$