精品解析：江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期学情调研测试数学试题

2024-2025学年第一学期六校联合体学情调研测试 高三数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A,再求交集运算. 【详解】解不等式得, 所以, 因为, 所以, 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算和共轭复数的定义求解即可. 【详解】，故， 故. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可. 【详解】因为在单调递增，且, 所以，即 因为，所以,即, 所以存在两种情况：且，且， 因此推不出, 同样推不出, 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 5. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，两边平方，结合数量积的定义和运算律及性质可求结论. 【详解】设与的夹角为，则， 因为， 所以， 所以， 所以，即 又，， 所以， 所以，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和两角差的余弦公式对题目所给条件进行化简，再用两角和的正切公式即可. 【详解】因为, 所以, 所以, 即, 因为, 所以, 所以. 故选：A. 7. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形弧长的计算，可得圆锥底面半径，画组合图形的轴截面，利用三角形内切圆以及勾股定理，最后利用球表面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面周长，所以圆锥的底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如下： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，也即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得， 所以内切球的表面积. 故选：A. 8. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对等式进行移项，然后两边同时除以，凑出，再利用基本不等式即可. 【详解】因为 即,两边同时除以，得到， 即， 当且仅当，即等号成立， 则，则. 故的最小值为. 故选:. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,B,根据抛物线的定义即可求解p,进而知道抛物线方程和准线方程；对于C,D，由抛物线的性质易知该结论正确.证明过程见详解. 【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知:, 解得 . 抛物线的方程为:,故正确; 对于，抛物线的准线方程为，故错误； 对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D, 易知抛物线的焦点，设，则,, 所以, 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在， 假设,设,AB的中点为,则 ， 如图所示，作垂直于准线于点，则, 联立，消去并整理可得， 所以， 所以所以, , , , 以 为直径的圆与准线相切，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：如图所示， 已知抛物线,过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论： （1） （2）若直线的倾斜角为，则; （3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切； （4）; 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可. 【详解】若，则，，故， 所以，即等差数列是递减数列， A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对； B：由，，则，， 所以成立的最小自然数，错； C：，则，对； D：当或时，，当时，， 由，，所以数列中的最小项为，对. 故选：ACD 11. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB，利用赋值法求得，,再根据中心对称的定义判断即可； 对CD，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得． 【详解】对于A，令，则有，即， 令，则有，所以， 所以函数不关于中心对称，故A错误B正确； 对于C，令，则有,即， 则, ，故C正确； 对于D，令，则有,即，则，即，又， 令,，则有， 所以数列是等差数列，首项为，公差为1， 所以， 即， 则，故D错误． 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为__________. 【答案】135 【解析】 【分析】根据题意求出,再写出二项展开式的通项，令的指数部分为0，然后求解即可. 【详解】依题意，解得， 二项式的通项为, 令，得， 所以展开式中常数项为. 故答案为：135. 13. 若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向右平移后的函数图象，再根据正弦函数的单调递减区间列出不等式，进而求解即可. 【详解】向右平移个单位后得到 因为，所以， 因为在单调递减， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以当时，. 故答案为：. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及余弦定理，由双曲线离心率和的面积为可解得. 【详解】不妨取点在第一象限，如下图所示： 根据双曲线定义可得，且； 由离心率为可得，可得，即； 设，则； 由的面积为可得， 解得； 利用余弦定理可得， 即，整理可得， 即，所以，解得. 故答案为：2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程； （2）转化为对于恒成立，求实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ，，， 所以的图象在处的切线方程为：. 【小问2详解】 ， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令， 当时，， 则函数在上单调递增，所以， 故. 16. 在中，角所对的边分别为，设向量. （1）求函数的最小值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式，二倍角公式，辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最小值； （2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求结论. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当，即时，有最小值 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以 由正弦定理，， 所以. 又因为， 所以，得， 由余弦定理有：， 所以. 所以. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，点分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知可证得四边形为平行四边形，可得，则得平面. （2）连接，交于点，可得平面平面，则为直线与平面所成的角的平面角，以为原点，直线所在直线分别为轴，过点O垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，求得平面的一个法向量，取平面一个法向量为，由即可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图： 取中点，连接， 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图： 连接，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为的中点， 又因为，所以平面，且， 所以平面， 平面，所以平面平面， 所以是直线在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角的平面角，则， 又， 所以， 如图，以为原点，直线所在直线分别为轴， 过点O垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 取平面一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，则， 则， 所以二面角的余弦值为. 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 19. 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点为，离心率为的面积为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线过点且与直线垂直时，求的周长； （3）若（是坐标原点），求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率为，可得，，再由，可求得，进而求得，，可得椭圆的方程； （2）由（1）可得为正三角形，得直线为线段的垂直平分线，则的周长为. （3）当直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积为；当直线的斜率存在且不为零时，设直线，与椭圆联立消去得，则得， ，则得，同理可得，，代入，变形后利用基本不等式，即可求得其取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，又，则， 即椭圆方程为， 因为，所以， 即，则，， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， ，得为正三角形， 则由，得直线为线段的垂直平分线， 所以且， 则的周长为 . 【小问3详解】 ①当直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积为， ②当直线的斜率存在且不为零时，设直线， 与椭圆联立消去，得， 即，则， 则， 同理可得，， 故的面积为 ， 当且仅当，即时取最小值， 综上，的面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第（3）小问，先讨论直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积；再讨论直线的斜率存在且不为零时，设直线，与椭圆联立消去，得到，，即可得，同理得，则的面积为，变形后利用基本不等式，从而求得面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期六校联合体学情调研测试 高三数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 7. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 11. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为__________. 13. 若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则______. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 在中，角所对的边分别为，设向量. （1）求函数的最小值； （2）若，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，点分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 19. 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点为，离心率为的面积为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线过点且与直线垂直时，求的周长； （3）若（是坐标原点），求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $