21.2.3 二次根式的除法 同步测试 2024--2025学年华东师大版九年级数学上册

华师大版九年级数学上册21.2.3 二次根式的除法 同步测试 一、选择题 1．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．的倒数是（　　） A． B． C． D． 5．化简 ＝（　　） A．2 B． C．6 D． 6．的相反数的倒数是（　　） A． B． C． D． 7．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 8．在式子，，，中，最简二次根式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 10．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 二、填空题 11．计算：　 　． 12．当x=　 　时，最简二次根式与能够合并． 13．化简：　 　． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为　 　． 15．写出一个最简二次根式a，使得，则a可以是　 　． 三、解答题 16．先化简，再求值：，其中． 17． 化简并求值：已知，求的值． 18．阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求 的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵ ∴ ， ∴， ∴. 任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值. 19． 已知 ，求 的值． 四、综合题 20．在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值． 小华是这样解答的：，请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空：　 　 ；　 　 ； （2）化简：． 21．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： （1）用上述方法化简； （2）计算：． 22．阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与． （1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　 　，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如：． （2）请仿照上述方法化简：； （3）比较与的大小． 23．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得，，均不为最简二次根式，ABD不符合题意； C、为最简二次根式，C符合题意； 故答案为：C 【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、=3，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式的性质可判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的乘除法法则可判断C、D. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，不符合题意； B.是最简二次根式，不符合题意； C.是最简二次根式，不符合题意； D.不是最简二次根式，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：的倒数是. 故答案为：D 【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，再进行化简. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：. 故答案为：D. 【分析】在式子的分子分母同时乘以“”，进行分母有理化，即可得出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：=， 的相反数为，的倒数为，所以的相反数的倒数是. 故答案为：D. 【分析】根据绝对值、相反数和倒数的定义求解即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法及二次根式的性质逐项判断即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】，这两项均不是最简二次根式，则排除， ，均符合二次根式的定义， 故答案为：B． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：A．∵， ∴就是的一个有理化因式，故A符合题意； B．∵， ∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意； C．∵， ∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意； D．∵， ∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴x+3＝2x， 解得：x＝3， 故答案为：D． 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得x+3＝2x，再求出x的值即可。 11．【答案】 【解析】【解答】解： . 故答案为：. 【分析】直接利用分母有理化，在分子、分母同乘以即可得出答案. 12．【答案】2 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与能够合并 ， ∴3x+5=2x+7， 解得：x=2， ∴当x=2时，最简二次根式与能够合并 ， 故答案为：2. 【分析】利用同类二次根式的定义先求出3x+5=2x+7，再求解即可。 13．【答案】/ 【解析】【解答】 解：， 故答案为：. 【分析】根据二次根式的性质化简求解即可。 14．【答案】1 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 由①得： 把代入②得： ∴方程组的解是 故答案为：1 【分析】根据同类二次根式的定义可得，再求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可。 15．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：由可得， 所以a可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。 16．【答案】解：原式 当 时， 原式 【解析】【分析】根据分式的化简求值结合二次根式有理化即可求解。 17．【答案】解：∵， ∴ 【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。 18．【答案】解： ， ， ， 即， ， ， ， 即的值为. 【解析】【分析】对a分母有理化可得a=3+，则(a-3)2=a2-6a+9=7，化简可得a2-6a=-2，将待求式变形为2(a2-6a)+1，据此计算. 19．【答案】∵ ∴ = ． 【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。 20．【答案】（1）； （2）解：原式 ． 【解析】【解答】解：（1），； 【分析】（1）给第一个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可；给第二个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可； （2）原式可变形为，据此计算. 21．【答案】（1）解： （2）解： ． 【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可； （2）利用平方差公式分母有理化计算求解即可。 22．【答案】（1）解：与（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵， ， ∵＜， ∴＜ ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）利用分母有理化的计算方法求解即可； （3）先利用分母有理化化简，再计算并比较大小即可。 23．【答案】（1）解：方法一：===-； 方法二：===-； （2）解：原式=(-+-+-+…+﹣)=(﹣)=． 【解析】【分析】（1）方法一：给分子、分母同时乘以-，然后利用平方差公式化简即可； 方法二：将分子变形为5-3，然后利用平方差公式进行分解，再约分即可； （2）原式可变形为(-+-+-+…+﹣)=(﹣)，据此计算. 学科网（北京）股份有限公司 $$