10.3 几个三角恒等式学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第10章——三角恒等变换 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第10章 三角恒等变换 10.3 几个三角恒等式 【学习目标】 1．理解积化和差、和差化积、半角公式的推导过程； 2．掌握积化和差、和差化积、半角公式的结构特征； 3．能利用所学三角公式进行三角恒等变换． 【研讨·拓展】 积化和差 思考　积化和差公式是由什么公式推导出来的？ 填空　积化和差公式 sin αcos β＝ ；cos αsin β＝ ； cos αcos β＝ ；sin αsin β＝ ． 做一做　(1)sin 75°sin 15°＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)函数y＝sincos x的最大值为________． 和差化积 思考　和差化积公式是如何推导出来的？ 填空　和差化积公式 sin α＋sin β＝ ；sin α－sin β＝ ； cos α＋cos β＝ ；cos α－cos β＝ ． 做一做　思考辨析，判断正误 (1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B．( )(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B．( ) (3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B．( )(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos Acos B．( ) 利用积化和差、和差化积公式化简求值 【例1】(1)化简的结果为(　　) A．tan α B．tan 2α C． D． (2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值． 【变式1-1】若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于(　　) A．－ B．－ C． D． 【例2】求值：(1)＋＝________． (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝________． 【变式2-1】求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°－cos 2°； (2)sin 381°sin 81°－sin 12°； (3)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°． 【变式2-2】＝(　　) A． B． C．2 D．4 【变式2-3】化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________． 利用积化和差、和差化积公式解决三角函数性质问题 【例3】 (1)(多选)下列关于函数f(x)＝2cos(x＋45°)cos(x－45°)性质的叙述正确的是(　　) A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数的最大值为2 D．最小正周期为π (2)已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)． ①将f(x)表示成关于cos x的多项式． ②求f(x)的最小值． 【变式3-1】(1)函数y＝sinsin的最大值是________，最小正周期是________． (2)当x为何值时，函数y＝cos－cos取得最大值，并求出最大值． 半角公式 思考　(1)如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？ (2)如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？ 填空　半角公式：sin＝ ．cos＝ ．tan＝ (无理形式)． tan＝ ＝ (有理形式)． 做一做　(1)sin 15°＝±．( ) (2)tan α＝＝．( ) (3)若5π<θ<6π，cos＝a，则cos＝．( ) (4)存在α∈R使得tan ＝tan α．( ) 利用半角公式求值 【例4】求值：(1)sin ＝________．(2)tan ＝________． 【例5】若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　) A．－ B．－ C． D． 【变式5-1】(1)已知cos＝－，0<α<，则cos＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan 的值为(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 【变式5-2】已知cos α＝，α为第四象限角，则tan 的值为________． 三角函数式的化简 【例6】化简：(－π<α<0)． 【变式6-1】设α∈，化简：． 【变式6-2】化简：． 证明三角恒等式 【例7】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos． 【变式7-1】在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4coscoscos． 【例8】证明：＝． 【变式8-1】证明：cos8x－sin8x－cos 2x＝－sin 2xsin 4x． 【变式8-2】求证：tan －tan ＝． 【总结提炼】 一、牢记3组公式：1．和差化积公式； 2．积化和差公式； 3．半角公式 二、掌握2种方法——转化与化归 三、注意2个易错点：1．注意积化和差、和差化积公式使用的条件；2．半角公式符号的判断． 【拓展强化】 1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　) A． B． C．－ D．－ 2．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于(　　) A．－ B． C．2 D．－2 3．求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝(　　) A． B． C． D．1 4．cos 72°－cos 36°的值为(　　) A．3－2 B． C．－ D．3＋2 5．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 6．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于(　　) A． B．－ C． D．－ 7．已知sin＋sin α＝－，<α<0，则cos等于(　　) A．－ B． C．－ D． 8．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝(　　) A．－ B．－ C． D． 9．已知sin α＝，cos α＝，则tan＝________． 10．cos 20°sin 50°－cos 70°sin 40°＝________；cos 20°＋cos 100°＋cos 140°＝________． 11．函数y＝coscos的最小正周期为________，最大值为________． 12．若直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________． 13．设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是________． 14．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围为________． 15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，若存在x0∈R，使得f(x0＋2)－f(x0)＝4，则ω的最小值为________． 16．求下列各式的值：(1)cos ＋cos －2sin cos ；(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°． 17．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan的值． 18．已知tan α，tan β是方程x2＋3x－4＝0的两根，求证：＝－． 19．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论． 20．已知3tan＝tan，求证：sin 2α＝1． 21．已知函数f(x)＝coscos． (1)判断f(x)的奇偶性及最小正周期； (2)令g(x)＝f，x∈，求g(x)的最值． 22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证：＝． ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$