1.1.2 验证勾股定理及简单应用 练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

1.1.2 验证勾股定理及简单应用 一、单项选择题。 1．历史上对勾股定理的一种证法采用下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD 2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”. 下列图案中是“赵爽弦图”的是( ) 3．如图是某校的长方形水泥操场，若小明要从A 角走到C 角，则他至少要走( ) A．140m B．120m C．100m D．90m 4．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5米的木梯，准备把梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？( ) A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 6．如图，两棵高分别为10m和4m的树相距8m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞( ) A．8m B．9m C．10m D．11m 二、填空题。 7．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱． 8．如图，某人从点A出发，想垂直横渡到河对岸的B点，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离了想要到达的B点140米(即BC＝140米)，其结果是他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，则该河流AB处的宽度是______米． 9．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为________． 10．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，则用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起的高度为________cm. 三、解答题。 11．如图，小明用4个图①中的长方形组成图②，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，请你用此图验证勾股定理． 12．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1m，AD＝15m，求出AB段的长度． 13．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 证明：因为S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，又因为S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，所以b2＋ab＝c2＋a(b－a)，所以a2＋b2＝c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 答案： 一、 1-6 DBCAB C 二、 7. 612 8. 480 9. 110 10. 82 三、 11. 解：因为S正方形ABCD＝S正方形EFGH＋SRt△AHE＋SRt△BEF＋SRt△CFG＋SRt△DGH＝S正方形EFGH＋4SRt△HAE， 所以(a＋b)2＝c2＋4•ab，所以a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，所以a2＋b2＝c2 12. 解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1m，GC＝AD＝15m， 设BG＝xm，则BC＝(26－1－x)＝(25－x)m， 在Rt△BGC中，∵BG2＋CG2＝CB2，∴x2＋152＝(25－x)2，解得x＝8， ∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(m)， 答：AB段的长度为9m 13. 证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF.则BF＝b－a. 因为S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE＝b2＋ab，又因为S四边形ABED＝S△ABD＋S△BDE＝c2＋a(b－a)，所以b2＋ab＝c2＋a(b－a)，所以a2＋b2＝c2 学科网（北京）股份有限公司 $$