小升初典型奥数：逻辑推理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

逻辑推理 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 基本方法简介： ①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数． ②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断． ③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识． ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件． ⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决． 第二部分 典型例题 例题1：趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演。男士用、、表示，女士用甲、乙、丙表示。已知前面表演过程中和甲一起滑过，和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？ 【答案】C 【分析】在新一轮的比赛中，A只能和乙或丙搭配，B只能和甲搭配，而C不和丙搭配，那么C一定和乙搭配，可以列表表示每个人之间的搭配关系。 【详解】根据题意可列出以下表格，“×”表示二者不可能是新搭档。 甲 乙 丙 A × B × × C × × 由上图可以发现甲的新搭档是，的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是，乙的新搭档是。 答：乙的新搭档是C。 【点睛】本题看成的逻辑推理问题，列表法是求解逻辑推理问题常用的方法。 例题2：如图1，一个钥匙圈上挂着5个分别编有号码1、2、3、4、5的铁片．现在把其中一个铁片绕下来，接着将钥匙圈转一转，再把那个铁片绕上去，钥匙圈上的铁片就可以排成如图2的情形．问：取下的铁片的编号是多少？ 【答案】2. 【详解】由于钥匙圈是个圆形，这五个铁片的顺序可以是：1，2，3，4，5；2，3，4，5，1；3，4，5，1，2；4，5，1，2，3；5，1，2，3，4；由图二看出应是： 4，5，1，2，3这一顺序，所以2应在1和3之间，而不是4和5之间，取下的铁片应是2号． 点评：本题是趣味数学中的智巧问题，此种题一般不需要复杂的列式，只要找准解答的角度和方法就比较容易解答． 例题3：甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津。” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津。” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州。” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。问：不在场的何伟住在哪儿？ 【答案】何伟住在南京 【分析】甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以从这句话入手进行分析，假设这句话是假的，那么他们说的前两句应当都是真话，然后考虑其余两人所说的话的真假情况，考虑是否存在矛盾。 【详解】因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话； 推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话； 因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的； 由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话； 进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话； 最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话； 所以，何伟住在南京； 答：何伟住在南京。 【点睛】本题考查的是比较复杂的逻辑推理问题，在用假设法求解问题的时候，先要考虑每个人所说的话之间的逻辑关系。 例题4：、、、、五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得分，负者不得分，已知比赛结果如下：①与并列第一名②是第三名③和并列第四名。求得多少分？ 【答案】分 【分析】五人参加单循环比赛，总共比10场，每场产生2分，总共20分，由于没有平局，那么每名选手的总分一定是0、2、4、6、8五个数之一，然后根据这5个人的名次情况进行分析。 【详解】因为五个人一共比赛：（场） 所以场球一共得分：（分） 有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得分的，也没有得分的，得分情况只有、、分三种； 所以，并列第一的一共得：（分），并列第四的一共得：分，第三名得（分），所以，得分。 答：B得4分。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，一般足球比赛有平局，乒乓球比赛一般没有平局。 第三部分 高频真题 1．甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动．已知： ①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种： ②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子； ③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服； ④戴黄帽子的学生穿着红衣服； ⑤乙没有穿黄色衣服． 试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服? 2．有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？ 3．八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了场，北京队赛了场，江苏队赛了场，山东队赛了场。那么广东队赛了几场？ 4．某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：①若去A地，则也必须去B地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些? 5．有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2个小时，但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到一半是在什么时候，但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？ 6．小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？ 7．张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；（2）在北京工作的不是教师；（3）在上海工作的是工人；（4）席辉不是农民。问：这三人各住哪里？各是什么职业？ 8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取1～10根火柴，以先取完火柴的人为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略? 9．四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场。规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分。比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名。已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？ 10．房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人? 11．一次围棋比赛，有8人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得2分，负者0分，平局各自得1分。已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等。 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 12．三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少。各科都是如此记分。已知甲最后得分，乙最后得分，丙也是得分。并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？ 13．一次数学考试的满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分数是90分。这6人得分互不相同，且都是自然数。其中一位同学仅得60分。那么排在第三名的同学至少得多少分？ 14．王、张、李三人在一起，其中一位是博士，一位是教授，一位是副教授．现知道李比教授年龄大，王和副教授不同岁，副教授比张年龄小．问：他们三人谁是副教授？谁是博士？谁是教授？ 15．A、B、C、D、E五位选手进行乒乓球循环赛，每两人都只赛一盘．规定胜者得2分，负者不得分．现在知道的比赛结果是：A与B并列第一名（有两个并列第一名，就不再设第二名，下一个名次规定为第三名），D比C的名次高，每个人都至少胜了一盘．试求每人的得分． 16．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 17．有A、B、C三支球队进行比赛，每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．如果三支球队共比赛了7轮，最后A胜的场数最多，B输的场数最少，C的得分最高＜这些都没有并列）．请问：A得了多少分？ 18．有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白。然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了。试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？ 19．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分，请问： （1）一共有多少场比赛？ （2）四个人最后得分的总和是多少？ （3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？ 20．王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：（1）张贝从未上过天；（2）跳伞运动员已得过两块金牌；（3）李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生。请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？ 21．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。 猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的； 猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的； 猜：第二包是黄的，第五包是紫的。 猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对。请你判断他们各猜对了其中的哪一包？ 22．小亮、小红、小娟分别在一小、二小、三小读书，各自爱好围棋、体操、足球中的一项，现知道： （1）小亮不在一小； （2）小红不在二小； （3）爱好足球的不在三小； （4）爱好围棋的在一小，但不是小红． 问：小亮、小红、小娟各在哪个学校读书，和各自的爱好是什么？ 23．在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球个一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球？ 24．9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子，请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？ 25．桌上放了七叠书．其中只有一叠是卡通书，其余都是故事书和科技书，且故事书是科技书的6倍．这七叠书分别是3本、4本、5本、16本、26本、25本、38本．问：卡通书有几本？ 26．学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分，如果大明得分，且知他有个球没有投进，那么大明共投了几个球？ 27．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？ 28．一个巨大的圆形水池，周围布满了老鼠洞．猫追老鼠到水池边，老鼠未来得及进洞就掉入水池里．猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠（猫不入水）．已知V猫=4V鼠．问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？ 29．刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 30．有3顶红帽子，4顶黑 帽子，5顶白帽子．让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色． （所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见．现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回 答说不知道，就继续问他前面那个人．假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子．为什么？ 参考答案： 1．甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服 【分析】我们将题中条件利用下图体现出来，其中实线表示两端需同时成立．虚线表示两端不能同时成立． 【详解】因为戴黄帽子的穿红衣服，而戴红帽子的又不穿蓝衣服，所以对戴红帽子的人而言只能穿黄衣服，所以戴蓝帽子的之只能穿蓝衣服． 乙不穿黄衣服，又不带黄帽子→穿红衣服，所以乙只能穿蓝衣服，即乙—蓝帽子—蓝衣服， 甲不戴红帽子，而乙戴蓝帽子，所以甲戴黄帽子，即甲—黄帽子—红衣服， 所以丙—红帽子－黄衣服． 即甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服． 2．957.5克，537.5克 【分析】根据题意来回操作比较复杂，这样的情况列表会比较理清题目的意思。第一次操作的过程中，开始是甲容器是800克纯酒精，乙容器是640克纯净水，甲倒入了一半的酒精也就是400克给乙，这时甲容器里面有400克的酒精，乙容器里面有400克的酒精和640克的水，这时乙溶液是混合的，倒入一半给甲时，也就是乙容器里面的酒精倒入一半给甲，水也倒入一半，这时甲里面酒精有自己的400克和乙容器里面一半的（200克）酒精，以及乙容器640克水的一半（320克）。乙里面的酒精有剩下一半的酒精（200克）和剩下的一半的水（320克），同理第二次和第三次同样的操作，列出表格。 【详解】根据题意列出如下表格： 537.5＋420＝957.5（克） 答：甲容器中的溶液有957.5克，其中含有纯酒精537.5克。 3．场 【分析】五队进行单循环比赛，每个队都要和其余的4支队比一场，可以根据八一队、北京队、江苏队、山东队的比赛情况，找出他们和谁比过了，没有和谁比过，然后确定广东队赛了几场。 【详解】八一队赛了场，说明八一队和其它四队都赛过了； 山东队赛了场，说明只和八一队赛过； 北京队赛了场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过； 江苏队赛了场，说明与八一队、北京队赛过； 由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了场； 答：广东队赛了2场。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，可以画图分析各个队之间的比赛情况。 4．C、D 【详解】解：假设参观团去了A地，由①知一定去了B地，由②知没去C地，由④知没去D地，由③知去了E地，由⑤知去了A、D两地，矛盾． 所以开始的假设不正确，那么参观图没有去A地，由由①知也没去了B地，由②知去了C地，由④知去了D地，因为A、D两地没有都去，所以由⑤知去了没去E地． 即参观团去了C、D两地． 5．同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完． 【详解】试题分析：通过分析可知，同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完，这样就能用这根绳子来确定1个小时的时间，据此解答即可． 解：同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完，这样就能用这根绳子来确定1个小时的时间． 答：同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完． 点评：观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 6．小张是工人，小李是农民，小王是教师。 【分析】小王、小张、小李三人对应工人、农民、教师三个身份，典型的列表分析的题目，先确定表头，再根据条件进行分析判断。 【详解】由题目条件列表分析： 工人 农民 教师 小王 × × √ 小张 √ × × 小李 × √ × 所以小张是工人，小李是农民，小王是教师。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，列表推理是求解此类问题最常用的方法。 7．席辉在天津工作，是教师；张明在上海工作，是工人；李刚在北京，是农民。 【分析】张明、席辉、李刚三个人对应工人、农民、教师三个职业，以及北京、上海、天津三个地点，可以分别考虑三个人和三个地点的对应关系，以及三个人和三种职业的对应关系，列表求解。 【详解】由题目条件可知：席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农 民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人，李刚在北京，是农民。 北京 上海 天津 工人 农民 教师 × √ × 张明 √ × × × × √ 席辉 × × √ √ × × 李刚 × √ × 答：席辉在天津工作，是教师；张明在上海工作，是工人；李刚在北京，是农民。 【点睛】本题考查的是复杂的逻辑推理问题，相当于是将两个列表推理的问题相结合。 8．甲 【详解】先取者甲一定能得胜． 因为100＝9×11+1．甲开始取1根，(余下99根是11的倍数)． 这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才的数目凑成11．这时余下88根，仍是11的倍数． 依此进行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴，余下的火柴甲都可一次取完． 9．分或分 【分析】四个同学共赛6场，总分是12分，每名选手的总分一定是0~6七个数之一，因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数要大于3分，可以先进行假设，枚举出可能的情况。 【详解】比赛场次： （场） 总分： （分） 如果第一名的同学得分，那么第三名的同学得分为： （分） 也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，负两场，各得分； 如果第一名的同学得分，那么第三名的同学得分为： （分） 也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场，平两场，各得分； 答：第一名同学得分为分或分。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，在进行推理的时候，可以进行合理的假设。 10．6个 【详解】假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾； 假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾； 假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有10个老实人，矛盾； 假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾； 假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾； 假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾； 假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足； …… …… 以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人． 解法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n—1老实人”的都是骗子； 说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11 个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n 骗子，而一共12个人，所以n＝6． 综上所述，一共6个老实人． 11．第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分 【分析】已知每人都要和其他7人比赛一场，也就是每人要比赛7场，去除重复的情况，用8×7÷2即可求出比赛的总场数，也就是28场，每场两人的得分和是2分，比赛之后所有人的总得分是（28×2）分，也就是56分，第一名最多6胜1平，也就是13分，排名没有并列，所以第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分，据此可知后4名的总分之和最少是（56－13－12－11－10）分，也就是10分，因为获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等，可知第四名最少也是10分，据此可知第四名的得分是10分，以此解答。 【详解】8×7÷＝28（场） 28×2＝56（分） 第一名最多得： 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（分） 第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分， 又第四名最少56－13－12－11－10＝10（分） 所以第四名10分，第一名13分，第二名12分，第三名11分。 答：第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分。 【点睛】本题主要考查了单循环赛的应用以及推理问题，关键是从条件中推出第四名的得分。 12．丙 【分析】每次考试以考得的名次进行记分，考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少，那么考第一至少可以得到3分，而乙英语第一，至少乙得3分，且乙总分是9分，那么科目不会多于7科。 【详解】由乙英语第一，至少乙得3分，且总分为9分。所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7都不是40的约数，所以只可能是4科或5科。若4科，每科共为10分。按名次分配应有4种：（7，2，1），（6，3，1），（5，4，1），（5，3，2）。由甲共得22分，且至多有3科第一（英语不是第一），则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分。又由乙得9分，且英语第一。如果按（7，2，1）分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分。所以，以上几种情况不能成立。若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：（5，2，1）；（4，3，1）。而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合。所以只有（5，2，1）符合题意。按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，1，1。甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙。 答：数学第二是丙。 【点睛】本题考查的是复杂的逻辑推理问题，在求解过程中如果有多种情况，需要把每一种情况都考虑到。 13．95分 【分析】6位同学在这次考试中的平均分数是90分，这6位同学考试的总分是540分，第一名和第二名的分数尽可能的高，且不相同，为100分、99分。第四名和第五名的分数尽可能的和第三名相近。就是第三名同学分数最少的情况。其中一位同学仅得60分，则剩余的三名同学总分是281分，而且这三名学生的分数尽量接近，三个人分数的平均分大概在93左右，据此得出第三名是95分。 【详解】90×6＝540（分） 540－100－99－60 ＝540－（100＋99＋60） ＝540－259 ＝281（分） 281＝94＋94＋93＝92＋95＋94 答：排在第三名的同学至少95分。 【点睛】要理解至少的意思是第三名的分数在最少的情况下保持6个人的平均数是90分。也就是在和相等的情况下，其他的数字尽可能大的情况，另外的一个数才会尽可能的小。 14．李是副教授,张是博士,王是教授 【详解】因为王和副教授不同岁,所以王不是副教授.因为副教授比张年龄小,所以张不是副教授,那就只有李是副教授.因为李比教授年龄大,而副教授（李）比张年龄小,所以张不是教授,则是博士. 15．A、Ｂ各6分，D得4分，C、E各得2分 【分析】因为乒乓球比赛没有平局，所以求胜的盘数与得分是一回事．此题是体育比赛中的推理题．涉及分数，胜负场次，所以必须联系基本知识点，确定一些必须满足的条件，包括总分、每队最高分、每队最低分、胜场与负场是否相等、平局总数是否为偶数等． 【详解】五人之间单循环场数为4+3+2+1=10（场），所以总分是102=20（分）． 每人赛4场，所以最高分为42=8（分），最低分为0分． 联系题目条件两个并列第一名，所以A、B不可能全胜，最高分为32=6（分）．每人至少胜一场，最低分为2分．由于无平局，所以得分均为偶数：2、4、6． 假设最高分≤4，则总分最多为4+4+2+2+2=14（分），与总分20分矛盾； 设最低分≥4，则总分最少为6+6+4+4+4=24（分），与总分20分矛盾． 所以最高分即为6分，最低分即为2分． 则其他分为20－6－6－2=6（分），所以D得分4分，C得分2分． 答：A、B各6分，D得4分，C、E各得2分． 【点睛】体育比赛推断必须确定总分，每队最高分与最低分及所有可能分数，此题中无平局，若有平局，可能分数则为2，3，4，5，6，讨论起来更复杂．另外有的比赛胜一局得3分，平局各得1分，则总分也将不确定，但有一个范围：总场次×2～总场次×3． 16．3分 【详解】每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分； 那么第二名只能为12分，此时第四名4分． 于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表： 由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分． 17．13分或14分． 【详解】试题分析：每一轮，无论各队胜负如何，三队积分总合不变，等于6分，7轮之后，三队积分总和42； C得分最高，题目中各条件无并列，则C至少得15分， A胜场最多，然而不是积分最多的队伍， 说明A、B、C积分非常接近，接近到不能再接近的地步（无并列）， B负场最少，则平局最多，可以安排B积分次之， 那么可以按以下分配分数：A14分，B13分，C15分或A13分，B14分，C15分；由此结合列举进行解答即可． 解：根据题意列举如下： 第一轮：A胜B     A胜C     B平C 第二轮：A平B     A负C     B平C 第三轮：A负B     A负C     B平C 第四轮：A平B     A负C     B平C 第五轮：A平B     A负C    B平C 第六轮：A平B     A胜C     B平C 第七轮：A胜B     A胜C     B平C 总计  A：5胜   4平    6负    积分：5×2+4×1=14分 B：1胜  11平   2负     积分：2+11×1=13分 C：4胜   7平   3负     积分：4×2+7×1=15分 或： 第一轮：A胜B    A胜C    B平C 第二轮：A负B    A负C    B平C 第三轮：A负B    A负C    B平C 第四轮：A平B    A负C    B平C 第五轮：A平B    A负C    B平C 第六轮：A平B    A胜C    B平C 第七轮：A胜B    A胜C    B平C 总计：A：5胜  3平  6负   积分：5×2+3=13分 B：2胜  10平  2负   积分：2×2+10=14分 C：4胜   7平   3负  积分：4×2+7=15分 所以A为13分或者14分． 答：A得了13分或14分． 点评：解答此题应明确：7轮之后，三队积分总和42，C得分最高，题目中各条件无并列，则C至少得15分，B负场最少，则平局最多，可以安排B积分次之，是解答此题的关键． 18．一个 【分析】因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两白，从中取出一个，即可判断出来。 【详解】那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”； 若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”。 答：最少需要一次。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，由于题目问的是最少的情况，直接考虑最幸运的情况。 19．（1）6场．（2）12分．（3）3分. 【详解】试题分析：（1）四名同学总共打的场数是：4×3÷2=6场； （2）四个人最后比赛结果是平局或者胜局，所以一场会得2分，得分为：2×6=12分； （3）我们对乙丙假设进行求解，假设乙丙两胜；假设乙丙一胜一平．看看哪种情况符合题意，进而解决问题． 解：（1）4×3÷2=6（场） 答：一共有6场比赛． （2）6×2=12（分） 答：四个人最后得分的总和是12分． （3）②不可能三胜，如果三胜肯定得第一，而不是第二名． ②假设乙丙两胜，甲则三胜或两胜一平，如果甲三胜，则共有7场胜，总共才6场比赛，不可能．如果甲两胜一平，则乙丙两胜一负，现在总共有6胜，所以总共应该6负则所有比赛都是胜﹣负，没平﹣平，矛盾．所以乙丙两胜也不可能． ③假设乙丙一胜一平，正好可以，乙得3分． ④其它情况均不成立． 答：乙得了3分． 点评：本题考查逻辑推理；认真根据条件分析题意得出结论即可；第三问用了假设法，推出与题设相矛盾的结论，进而得出正确的结果． 20．王文是跳伞运动员，李丽是游泳运动员，张贝是田径运动员 【分析】王文、张贝、李丽三个人对应跳伞、田径、游泳三个项目，典型的列表推理的问题，先确定表头，再根据条件进行分析。 【详解】如下表所示： 王文 张贝 李丽 跳伞 √ × × 田径 × 游泳 √ 由（1）（3）可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由（3）可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员。 答：王文是跳伞运动员，李丽是游泳运动员，张贝是田径运动员。 【点睛】列表法求解逻辑推理问题能清楚地找到所给条件之间的关系，在表中“√”表示是，“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”。 21．猜对了第三包是黄的，猜对了第二包是蓝的，猜对了第一包是红的，猜对了第四包是白的，猜对了第五包是紫的。 【分析】每人只猜两包，且每人都只猜对了一包，第一包只有C猜过，所以C猜第一包是红的是正确的，那么C猜第五包是白的就是错误的，然后列表分析其余的情况。 【详解】第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“×”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。 红色 黄色 蓝色 白色 紫色 一 √ × × × × 二 × × √ × × 三 × √ × × × 四 × × × √ × 五 × × × × √ 答：A猜对了第三包是黄的， B猜对了第二包是蓝的， C猜对了第一包是红的， D猜对了第四包是白的， E猜对了第五包是紫的。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，先把能确定的确定下来，再考虑其它的，这是逻辑推理的一般思路。 22．小亮：二小，爱好足球     小红：三小，爱好体操      小娟：一小，爱好围棋     【分析】此题是三者关系对应题，利用列表法先设计好表格 【详解】将四个条件依次填入可推出: 根据排他性原理与互补性原理将表格填完整． 23．能，从标有一黑一白的盒子中取球，则可以判断三个盒子真正所装的球。 【分析】可以采用假设法。假设从标有两黑的盒子里取出球，若取出白球，则不能确定真正装的是什么球，假设从标有两白的盒子中取，也是如此。 【详解】假设从标有一黑一白的盒子中取出球，则若取出白球则可以确定真正装有两白球，即标两白的盒子装的就是两黑（否则标两黑装两黑与题目已知矛盾）。即可以确定三只盒子各装什么球。同理可知，若取出黑球，也可确定三只盒子各装什么球 。 所以答案就是从标有一黑一白的盒子中取球，则可以判断三个盒子真正所装的球。 【点睛】此题属于推理题里面的问题解决题型。根据题目意思，关键是确定拿出的球是来自哪只盒子才能确定出三只盒子各装什么。 24．蓝色 【详解】试题分析：因为9个人看到的帽子的总次数是：1+2+3+…+8=36次， 又因为他们看到的红、黄、蓝颜色帽子的总次数是相等的， 所以这个总次数是36÷3=12次， 因为第三个人是红帽子，已经被6个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8，要么是 第5和第7，这样两顶帽子被看到的次数是6，6+6=12，刚好． 最后一个小朋友不可能是戴红帽子，他也不可能带黄帽子：因为第6个是黄帽子，被3个人看到，如果最后一个是黄帽子，那么就没人看到了，剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴，也才被8个人看到，3+0+8=11 所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子；由此解答即可． 解：（1+2+3+4+…+8）÷3 =36÷3 =12（次） 第三个人是红帽子，已经被6个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8，要么是 第5和第7，这样两顶帽子被看到的次数是6，6+6=12，刚好； 最后一个小朋友不可能是戴红帽子，他也不可能带黄帽子：因为第6个是黄帽子，被3个人看到，如果最后一个是黄帽子，那么就没人看到了，剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴，也才被8个人看到，3+0+8=11 所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子； 答：最后一个小朋友戴着蓝色的帽子． 点评：此题应结合题意进行分析，明确：因为第三个人是红帽子，已经被6个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8，要么是第5和第7，是解答此题的突破口． 25．5本 【详解】尝试可得：6×16=38+25+26+4+3 所以卡通书有5本． 26．个 【分析】大明有6个球没有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，不被扣6分，那么他得到的总分是36分，投进一球得3分，那么他投进了12个球，再加上他投丢的6个球，一共18个。 【详解】假设他投丢的6个球没有投； （分） （个） （个） 答：大明共投了18个球。 【点睛】也可以把投进的球的数量设为未知数，表示出大明的得分情况，列方程求解。 27．丁一场也没有胜 【详解】因为一共赛了六场，而且“甲乙丙三人胜的场数相同”他们不是各胜一场就是各胜两场如果甲、乙、丙各胜一场，丁就应该是胜了三场，但丁已经败给了甲，他就不可能胜三场因此，只可能是甲、乙、丙各胜二场，3×2＝6，三人共胜了六场，所以丁一场也没有胜． 28．三个阶段如下图所示： 【详解】第一步：游到水池中心． 第二步：从水池中心游到距中心R/4处，并始终保持鼠、水池中心、猫在一直线上． 第三步：沿与中心相反方向的直线游3R/4就可以到达水池边，而猫沿圆周到达那里需要3.14R，所以捉不到老鼠． 三个阶段如图所示 29．刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹 【分析】因为兄妹二人不许搭伴，由第一盘看出：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹；由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。 【详解】列表分析如下： 小丽 小英 小红 刘刚 × × √ 马辉 × √ × 李强 √ × × 综上所述：刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹； 答：刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，“兄妹二人不许搭伴”这个条件是求解问题的关键。 30．最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子．那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子．”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子． 【详解】“有3顶黑帽子，2顶白帽子．让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色．（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见．现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人．事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子．为什么？” 答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子．那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子．”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子． 我们把这个问题推广成如下的形式： “有若干种颜色的帽子，每种若干顶．假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子．每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色．现在从最后那个人开始， 问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人．一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色．” 当然要假设一些条件： 1)首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴． 2)“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等．但在这个条件中的“若干”不一定非要具体一一给出数字来． 这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目“有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人”，也可以是“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”，甚至连具体人数也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后．在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了． 3)剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子． 4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来．当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方．他们极其聪明，逻辑推理是极好的．总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来．相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知． 5)后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号． 当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目．比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色．另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的． 但是下面这几题是合理的题目： 1)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人． 2)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人． 3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）． 4)1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，……，99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子，共5000个人． 5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人． 6)有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1． 大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题． 如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了．但是3)中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处． 假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答“知道”？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽． 现在假设最后那个人的回答是“不知道”，那么轮到问倒数第二人．根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答“知道”了．但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断——他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答“知道”；他自然也有可能戴着黑帽． 这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头．最后那个人可以回答“知道”当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答“不知道”当且仅当他至少看见了一顶黑帽．这就是所有帽子颜色问题的关键！ 如果最后一个人回答“不知道”，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上．这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了： “在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽．” 我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说“不知道”，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶．事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人． 这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了“如果别人也使用相同的推理”这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险．但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理．稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论： “如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜色的帽子．现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子．如果在我前面我见不到此颜色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子．” 当然第一个人的初始推理相当简单：“队列中一定有人戴这种颜色的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了．” 对于题1)事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子． 题2)也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答“知道”． 题4)的规模大了一点，但是道理和2)完全一样．100种颜色的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1+……+99=4950，所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜色的帽子． 至于5)、6)“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，原理完全相同，我就不具体分析了． 最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜色帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色．因为如果所有身后的人都回答“不知道”的话，那个从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子．但是这并不是说在询问中一定是由他来回答“知道”的，因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜色．比如说在题2)中，如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向） 白白黑黑黑黑红红红白→ 那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了． 学科网（北京）股份有限公司 $$