小升初典型奥数：列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

列方程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.知识概要 列方程解应用题是在初步学会用含有未知数的等式解一些需要逆向思考的简单应用题的基础上学习的。学好列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。列方程解应用题是简易方程知识的实际应用，也是一种重要的数学方法。它能使一些问题化难为易，拓展解题思路，提高解题的灵活性和变通性。 2.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题（弄清未知数和未知数与已知条件之间的数量关系）。 （2）设未知数。 （3）概括等量关系，列出方程。 （4）解方程。 （5）检验，作答（将解得的结果代入原应用题.依题意检验，看答案是否正确）。 3.掌握分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如： 三角形的面积=底×高÷2； 长方形的周长=（长+宽）×2等。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 4.弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系 （1）列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。 （2）用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。 （3）列方程解应用题和用算术方法解应用题是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟．已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米．求丙的速度？ 【答案】每小时28千米 【分析】因为三人从同一地点出发追赶小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的 【详解】解：设小舟的速度为x米／分钟，36千米/小时=0．6千米／分钟，30千米／小时=0.5千米／分钟．甲与小舟的路程差：（0．6－x）×5．乙与小舟的路程差：（0．5－x）×8． （0．6-x）×5=（0．5-x）×8 三人与小舟的路程差为：（千米） 丙与小舟的速度差：（千米/分钟） 丙的速成度：（千米/分钟） 千米/分钟=（）千米/小时=28（千米/小时） 答：丙的速度是每小时28千米． 例题2：甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？ 【答案】甲种：5升  乙种：2升 【详解】解：设甲种酒精溶液需要x升，那么乙种酒精溶液需要7-x升，根据题意列方程： x+×（7-x）=7×50% 解得，x=5 乙种酒精溶液需要7-5=2（升） 答：甲种酒精溶液需要5升，乙种酒精溶液需要2升． 例题3：有两条纸带，一条长2l厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的．问剪下的一段长多少厘米? 【答案】0.2 【详解】开始时，两条纸带得长度差为21－13＝8(厘米)． 因为两条纸带都减去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，有它们的差为13－8＝5份，则每份为8÷5＝1.6(厘米) ． 所以，剪后短纸带长为1.6×8＝12.8(厘米)，于是减去13－12.8＝0.2(厘米)． 方法二：设剪下x厘米， 则，交叉相乘得：13×(13－x)＝8×(21－x)，解得x＝0.2， 即剪下的一段长0.2厘米． 例题4：有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？ 【答案】200立方米 【分析】如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量”． 【详解】解：设全池蓄水量为x立方米． x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x x－x－x= 72 x=200 答：全池蓄水为200立方米． 例题5：五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共12人去取树苗，男同学每人拿3棵，女同学每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，则还差2棵不能取回．问： 原来男、女生人数各是多少？ 【答案】男生7人，女生5人 【详解】解：设原来男生有 x 人，女生有(12 x) 人，依题意列方程： 3x 2(12 x) 2x 3(12 x) 2 x 12 x 2 2x 14 x 7 答：原来男生有 7 人，女生有 5 人． 第三部分 高频真题 1．新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少名？ 2．某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生．原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支．后又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支．问：一、二、三等奖的学生各有几人？ 3．金银合金的重量是克，放在水中称重时，重量减轻了克，已知金在水中称重量减轻，银在水中称重量减轻，求这块合金中金、银各含多少克？ 4．某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达到优，请问：三项都是优的有多少人？ 5．丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7个，玲玲摘的苹果的个数就是我的2倍．”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7个，他的苹果个数就和我的一样多了．”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？ 6．一个分数约分后是．如果这个分数的分子减去18，分母减去22，可以得到一个新的分数，它等于．那么，约分前的这个分数是多少？ 7．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 8．小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端（很危险哦，不要效仿!），用下楼时5倍的速度需要走60级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级？ 9．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为每小时8公里，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用9小时，那么甲乙两港相距多少公里？ 10．火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？ 11．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米? 12．有两堆石头，如果从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的2倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍．问：第一堆中最少可能有多少块石头？ 13．甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 14．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 15．甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲，这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等．乙容器中原有盐水多少克？ 16．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ 17．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 18．有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下重量为多少千克？ 19．小春读一本小说，如果每天读35页，则读完全书比规定日期迟到一天；如果他每天读39页，最后一天要读多少页才能按日期读完？ 20．一个小学生在期末考试时，语文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数学成绩比语文成绩多5分，求这两门功课各多少分？ 21．姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐姐与弟弟现在的年龄和为岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？ 22．寒暑表上通常有两个刻度，摄氏度(记为℃)和华氏度(记为)，它们之间的换算关系是：摄氏度华氏度，那么在摄氏多少度时，华氏度的值恰好比摄氏度的值大． 23．兄弟两人骑马进城，全程51千米．马每时行12千米，但只能由一个人骑．哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米．两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行．而步行者到达此地，再上马前进．若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？ 24．五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？ 25．甲、乙两人加工某种零件，甲先做了3分钟，而后两人又一起做了2分钟，一共加工零件610个．已知甲每分钟比乙每分钟多加工 10 个，那么，甲比乙多加工多少个零件？ 26．某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元，每种奖都有人领，共有15名优秀职工，他们领的奖金的总数为16000元．获得一、二、三等奖的职工各有多少人？ 27．甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？ 28．同学们到郊区野炊．一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个．又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗．”算一算，有多少人吃饭． 29．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 30．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄． 31．一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成．已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍．甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 32．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 33．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9折出售，将赚20元，则商品的定价为多少元？ 34．学校田径队的小刚在400米跑步测试时，先以每秒6米的速度跑完了大部分路程，最后进入冲刺阶段时，他以每秒8米的速度冲到了终点，成绩为1分零5秒，问小刚在离终点多远时开始冲刺． 35．教师给幼儿园小朋友分草莓，如果每个小朋友分5个草莓还剩下14个，如果每个小朋友分7分草莓则差4个，求共有多少草莓？共有多少个小朋友？ 36．在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间？ 37．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大27岁，爷爷的年龄是妈妈和涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁．问：涛涛家四口人的年龄各是多少？ 参考答案： 1．男生3人，女生5人 【详解】解：设这个小组中的男生的人数为 x 人，那么女生的人数为8 x 人 根据题意列方程： 25x 15 20(8 x) 10 25x 15 150 20x 45x 135 x 3 所以这个小组中有男生 3 人，女生8 3 5 人． 2．一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人 【详解】本题出现了三个未知数，并且这三个未知数之间没有直接的关系．就可以设出三个未知数，列出不定方程组，再设法变成一个不定方程，继而求出解． 解：设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人．则 由②×2－①，得12x+5y＝22……… 消元（三元变成二元） x只能取1，所以y＝2，代入①得z＝5，则方程组的解为： 故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人． 解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案． 3．金有190克，银有60克 【详解】设克合金中，金有克，则银有克；依题意：，解得，所以这块合金中金有克，银有克． 4．5人 【详解】解：设三项都达到优的有x人，由逐步排除法有： 20+18+22-7-8-6+x+1=45 解得x=5 5．丁丁摘了35个，玲玲摘了49个 【详解】设丁丁摘了个苹果，由题意得：，，．即丁丁摘了个苹果，而玲玲的苹果个数为(个)． 6． 【详解】解：设约分前的这个分数是，根据题意可得，= 5（2a-18）=3（3a-22） 10a-90=9a-66 a=24 所以= 7．600米 【分析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列出方程． 【详解】解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）． 解得x＝500． 推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）． 答：队伍长为600米． 【点睛】在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数．对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些． 8．54级 【详解】小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走60÷5=12（级）．而下楼走了36级，所以下楼用的时间是上楼时间的36÷12=3倍． 设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x级，根据自动扶梯的级数可列方程：36+3x=60-x 解得x=6 自动扶梯有60-x=54（级）． 9．20公里 【详解】解：设原水速为每小时x公里，甲乙两港相距y公里；因路程一定，时间与速度成反比例， 平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，所以平时逆水航行与顺水航行的速度比为1：2；故得方程： （8-x）：（8+x）=1：2 解得， 又因暴雨时的水速为原来的2倍，再据往返两地的时间为9小时，可得方程： 解得，； 答：甲乙两港相距20公里． 【点睛】此题主要考查流水行船问题，关键是弄清楚：顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速． 10．7人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中未知数为没有参加任何一项慰问活动的同学，可以列方程算出，也可以直接对公式变形用算术法算出． 【详解】 解法一：设在校准备慰问品的人数为x （19+18+16-7-6-5+3）+x=45 解得，x=7 答：准备慰问品的人数为7人． 解法二：45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人） 答：准备慰问品的人数为7人． 【点睛】对于求三者都参加或者三者都不参加的部分，用方程法与算术法差别不大，但是对于求只参加一项或参加两项的部分，建议最好用方程． 11．2厘米 【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374" 是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解． 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372 即 3x+2y=31    当x=1时，y=14． 因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米． 12．34块. 【详解】试题分析：设第一堆有x块石头，第二堆有y块石头，从第二堆取出z块放进第一堆，然后根据“从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的2倍”以及“从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍”这两个等量关系，列出三元一次方程组，求解即可． 解：设第一堆有x块石头，第二堆有y块石头，从第二堆取出z块放进第一堆， 则， 由①，可得y=2x﹣60…③， 把③代入②，整理得11x﹣7z=360， 所以x=32； 又因为x，z都是自然数， 所以7z+8是11的倍数， 当z=2时，x有最小值为： x=32=34， 即第一堆中最少可能有34块石头． 答：第一堆中最少可能有34块石头． 点评：此题主要考查了多元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程组是解答此类问题的关键． 13．甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【分析】根据“两种商品都按定价的90%出售，结果仍获得27.7元的利润”可知，两种商品售出后，共收入227.7元。由此可求出如果两种商品按原来的定价出售，共应该收入253元。这样，就可以求出两种商品如果按原来的定价出售，共应获利53元。 我们可以假设两种商品都按30%的利润来定价。那么两种商品出售后，共应获得利润60元。因为乙商品实际是按20%的利润来定价的，而我们却假设它按30%的利润来定价，因此比实际多获得利润相当于乙商品10%的利润，这样就可以求出乙商品的成本，进而求出商品的成本。 【详解】解法一：若两种商品都按原来的定价出售，一共应该获得利润 （200＋27.7）÷90%－200 ＝227.7÷90％ ＝53（元） 假设两种商品都按30%利润出售，一共应该得利润200×30%＝60（元） 比实际多获利润60－53＝7（元）所以，乙商品的成本： 7÷（30%－20%） ＝7÷10% ＝70（元）。 甲商品的成本是：200－70＝130（元） 解法二：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（200－x）元。根据题意，列方程得： [（1＋30%）x＋（1＋20%）×（200－x）]×90%＝200＋27.7 [1.3x＋1.2×（200－x）]×90%＝227.7 [1.3x＋240－1.2x]＝227.7÷90% x＝130 所以，甲商品的成本是130元，乙商品的成本是200－130＝70（元）。 答：甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【点睛】根据题目已知数学信息，分析各个量之间的数量关系，可用不同方法进行解答，发散思维，一题多解。 14．甲组6000个，乙组3000个 【详解】解：设甲每天加工x个零件，乙每天加工x-100个，根据题意列方程： 20x=2×(x-100) ×15 解得，x=300 甲加工的数量：300×20=6000（个） 乙加工的数量：200×15=3000（个） 答：甲组加工零件6000个，乙组加工3000个。 15．520克 【详解】甲容器中原有食盐180×2%=3.6（克），甲容器中现有食盐3.6+240×9%=25.2（克），又知此时甲、乙两容器内食盐量相等．乙容器的浓度为9%，设现有乙溶液x克，则列方程得x·9%=25.2，解方程得x=280（克），所以乙容器中原有盐水240+280=520（克）． 16．10名生产螺钉，12名生产螺母 【详解】解：设分配x名工人生产螺钉，那么生产螺母的工人有22-x名，根据题意得： 2×1200x=2000（22-x） 解得，x=10 22-x=22-10=12（名） 答：分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 17．286米 【分析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程． 【详解】解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26． 解得x=14． 所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）． 答：这列火车的车身总长为286米． 18．2.4 【详解】设切下的部分重量为千克，则甲切下的千克与乙剩下的千克混合．由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由千克甲块合金与千克乙块合金混合而成的，所以千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率与千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即，所以：，解得．即切下的重量为千克． 19．最后一天所读的页数并不是固定的，随规定时间的变化而变化，具体见解析。 【分析】书的页数和规定时间都不知道，而第二种情况，只是给出每天读的页数，并未给出时间，所以考虑设未知数，列方程求解。 【详解】解：设规定时间为x天，若每天读39页，最后一天要读y页可按日期读完； x、y都是整数，且x大于0，分类讨论，找出合适的解； x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 70 66 62 58 54 50 46 42 38 页数 70 105 140 175 210 245 280 315 350 x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 34 30 26 22 18 14 10 6 2 页数 385 420 455 490 525 560 595 630 665 答：如果每天读39页，同时保证按日期读完，最后一天要读的页数跟规定时间有关，具体如上表所示。 【点睛】当未知数个数多于方程个数时，方程的解并不唯一确定，需要分情况讨论，找出合适的解。 20．语文89 分，数学94分 【详解】解：设这个学生的语文成绩是x分，那么数学成绩是x5分． 根据题意列出方程：xx591.52 解得 x89   所以这个学生的语文成绩是89 分，那么数学成绩是89594（分）． 21．10 【详解】设弟弟现在的年龄是岁，那么姐姐的年龄为岁，年龄差为，弟弟当年年龄为岁，由题意可列方程，解得所以，弟弟现在的年龄是岁． 22．35 【详解】根据摄氏度与华氏度的换算关系，设在摄氏度时，华氏度的值恰好比摄氏度的值大， 列方程： 答：在摄氏度时，华氏度的值恰好比摄氏度的值大． 23．下午1点45分 【详解】设哥哥步行了x千米，则骑马行了（51－x）千米．而弟弟正好相反，步行了（51－x）千米，骑马行x千米．由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程，解得x=30，所以两人用的时间同为（小时），早晨6点动身，下午1点45分到达． 24．21人 【分析】这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数．因而必须先求出这个三项活动都参加人数．再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。 【详解】解：设三项活动都参加人数为x，根据题意得参加文艺小组的人数为7x，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5＝2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x．根据容斥原理可以得到下面等式： 24＋20＋7x－（2x＋2x＋10）＋x＝46 4x＝16 x＝3人 所以：7x＝21人。 答：参加文艺小组的学生有21人。 【点睛】在很多问题中涉及一个基准量，经过分析找到这个基准量后，问题便可以解决。 25．290个 【详解】解：设乙每分钟做x个，则甲每分钟做（x+10）个 3×（x+10）+(x+x+10) ×2=610 解得，x=80 甲：80+10=90 甲一共做了：90×（2+3）=450（个） 乙一共做了：80×2=160（个） 甲比乙一共多做了：450-160=290（个） 答：甲比乙一共多做了290个． 26．一等奖2人，二等奖5人，三等奖8人 【详解】解：设一、二、三等奖依次有a，b，c人． 由题意可得， 5a+2b=20 根据a，b都是整数，解得：a=2，b=5，c=8． 答：获得一等奖的职工有2人，二等奖的5人，三等奖的8人． 27．7、5、3 【详解】三张牌上的三个数之和是． 因为不能整除和，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到三张牌各次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为、、.由乙、丙各得分，推知乙、丙的三张牌是、、和、、. 则甲的三张牌是, 解得：. 由得. 由得，从而. 将代入、得，. 所以，三张牌从大到小写的数依次是，，. 28．30人 【详解】解：设参加野炊活动的人数为x人． x+x+x=55 解得，x=30 答：参加野炊活动的有30人． 29．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 30．9岁 【详解】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有． 小明的年龄是（岁）． 31．甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天 【分析】已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几．然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天． 【详解】解：设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了． 　　 因此，甲队独做时间为：； 乙队独做时间为：； 丙队独做时间为：． 答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天． 32．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁. 【详解】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁； ②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁． 根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁． ③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁． （法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系： ，这个二元一次方程组的解为． 如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁． 33．125元 【详解】解：设商品的定价是x元 90%x-20=50%x+30 90%x-50%x=30+20 0.4x=50 x=125 答：商品的定价是125元． 34．离终点40米处 【详解】解：设小翔在离终点处x米时开始冲刺，根据题意列方程： 化简得：4（400-x）+3x=1560 解得，x=40 答：小翔在离终点处40米时开始冲刺． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 35．59个草莓，9个小朋友 【详解】解：设共有 x 个小朋友 5x 14 7x 4 14 4 7x 5x 2x 18 x 9 5 9 14 59 (个) 答：共有 59 个草莓，共有 9 个小朋友． 36．9:05时 【详解】8:30时黄甲虫距左端(厘米)，设再经过分钟红甲虫位于蓝、黄甲虫的中间． 此时，红甲虫距蓝甲虫厘米，距黄甲虫厘米； 可得方程，解得． 所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间． 37．涛涛5岁，妈妈32岁，爸爸36岁，爷爷74岁 【分析】由一家四口人的年龄之和为147岁知等量关系为：“涛涛岁数＋妈妈岁数＋爸爸岁数＋爷爷岁数=全家年龄和”．另外，经分析，设涛涛的年龄为x，则此题化难为宜． 【详解】解：设涛涛年龄为x岁，则妈妈是（x+27）岁，爷爷是[(x+x+27)×2]岁，爸爸是[(x+x+27)×2－38]岁． x＋（x+27）＋[(x+x+27)×2－38]＋[(x+x+27)×2]=14 解得：x=5 妈妈年龄：x+27=5＋27=32(岁) 爸爸年龄：(x+x+27)×2－38=（5＋5＋27）×2－38=36（岁） 爷爷年龄：(x+x+27)×2=（5＋5＋27）×2=74(岁) 答：涛涛5岁，妈妈32岁，爸爸36岁，爷爷74岁． 学科网（北京）股份有限公司 $$